129. 行列式の性質

【問題概要】
n×nの行列Aの行列式を求めるプログラムを作成してください。

【解説】
行列式とは、正方行列に対して定義される数学的な量であり、行列Aが正則であるとき、det(A) ≠ 0 となります。

以下はPythonで行列式を計算するためのプログラムです。numpyを使用して、行列式を計算する関数det()を使用します。

python
:import numpy as np
:
:def calc_determinant(matrix):
:...."""
:....行列式を計算する関数
:
:....Args:
:....matrix (numpy.ndarray): 行列
:
:....Returns:
:....float: 行列式の値
:...."""
:....return np.linalg.det(matrix)

この関数を使用して、n×nの行列Aの行列式を求めることができます。例えば、3×3の行列Aを次のように定義した場合、
python
:A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])

次のように関数を呼び出すことができます。
python
:det_A = calc_determinant(A)

行列式の値はdet_Aに格納されます。

行列式は、行列の性質を表す重要な指標の一つであり、連立方程式を解くためなど、様々な場面で利用されます。

行列式を求める方法は、様々なアルゴリズムが存在します。一般的には、ガウスの消去法や余因子展開などが使われます。

C言語でも行列式を計算するプログラムを作成することができます。以下は、C言語で行列式を計算するためのプログラム例です。このプログラムは、n×nの正方行列を表す二次元配列を受け取り、その行列式を計算します。(行列のサイズ（n）はプログラム内で定数として定義する。)
c
:#include<stdio.h>
:
:#define N 10
:
:int determinant(int mat[][N], int size){
:..int det=1;
:..for(int i=0;i<size;i++){
:....for(int j=i+1;j<size;j++){
:......while(mat[i][i]==0){
:........for(int k=i+1;k<size;k++){
:..........if(mat[k][i]!=0){
:............for(int l=i;l<size;l++){
:..............mat[i][l]+=mat[k][l];
:............}
:............break;
:..........}
:........}
:......}
:......int f=mat[j][i]/mat[i][i];
:......for(int k=i;k<size;k++){
:........mat[j][k]-=fmat[i][k];
:......}
:....}
:....det=mat[i][i];
:..}
:..return det;
:}
:
:int main(){
:..int mat[N][N];
:..int size;
:..printf("Enter size of matrix: ");
:..scanf("%d",&size);
:..printf("Enter matrix:\n");
:..for(int i=0;i<size;i++){
:....for(int j=0;j<size;j++){
:......scanf("%d",&mat[i][j]);
:....}
:..}
:..printf("Determinant of matrix is %d",determinant(mat,size));
:..return 0;
:}

このプログラムでは、determinant()関数を使用して行列式を計算しています。行列式を計算するために、掃き出し法を使用して行列を下三角行列に変換します。この過程で、行列式の値を計算します。

具体的には、まず対角要素が0である場合には、0でない要素を探して、対角要素に加算していきます。その後、対角要素を1に変更し、行列の要素を変換して、下三角行列を作成します。この操作を行うことで、行列式の値を計算することができます。

main()関数では、ユーザーに行列のサイズと要素を入力するように促します。入力された行列の行列式を計算して、その値を出力します。

Atcoderから最も関連性の高い問題を例示すると、以下の問題が挙げられます。

「行列操作」: https://atcoder.jp/contests/abc189/tasks/abc189_e (★★) (1200~2400) (23.3%) (1878) (20.6%) @all-contributors (解説ブログ: https://blog.hamayanhamayan.com/entry/2021/07/17/233620)

この問題は、行列の積や転置、逆行列、行列式などを扱う問題です。特に、行列の積と行列式の知識が必要とされます。行列の積を計算する部分には、通常の行列の掛け算と同様に、各要素の積を足し合わせるアルゴリズムが使われます。また、行列式を求める部分には、余因子展開を用いる方法が使われています。この問題を解くことで、行列式の計算方法を理解することができます。