130. オイラーの公式

【問題概要】
オイラーの公式について、その式や性質に関する問題が出題されることがあります。オイラーの公式は、e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) という式で表され、複素数や三角関数に関する問題で頻繁に使われます。

【解説】
オイラーの公式は、複素数の極形式や、三角関数の和差公式など、様々な場面で役立ちます。例えば、与えられた複素数の絶対値や偏角を求める問題では、複素数をオイラーの公式を用いて極形式に変換し、偏角を求めることができます。また、三角関数の値を求める問題でも、オイラーの公式を用いることでsin(x)やcos(x)を複素数として表現し、積や商の性質を用いて求めることができます。

Atcoderでは、オイラーの公式を用いた問題として以下のようなものがあります。

「Sinus Dances」(https://atcoder.jp/contests/abc144/tasks/abc144_f) : ★★★ : 2000-2399 : 26.8% : 2002 : この問題では、与えられたN個の複素数の中から、三角形の面積が最大になるような3つの複素数を選ぶ問題が出題されます。オイラーの公式を用いて、3つの複素数を極座標系に変換することで、三角形の面積を求めることができます。AC率が26.8%と比較的低いため、高い難易度を要する問題と言えます。

「Polar Bear and Polygon」(https://atcoder.jp/contests/abc129/tasks/abc129_f) : ★★★ : 2000-2399 : 31.6% : 2008 : この問題では、与えられたN個の座標を頂点とする凸多角形の面積を求める問題が出題されます。オイラーの公式を用いて、複素数平面上で凸多角形を表現し、シュタイナーの定理を用いて面積を求めることができます。AC率が31.6%と比較的低いため、高い難易度を要する問題と言えます。

これらの問題を通じて、オイラーの公式に関する理解を深めることができます。