154. 平面のベクトルと成分

【問題概要】
平面の法線ベクトル$\vec{n}=(a,b,c)$と、平面上の1点$(x_0,y_0,z_0)$が与えられたとき、任意の点$(x,y,z)$がその平面上にあるかどうかを判定する問題。

【解説】
与えられた平面の方程式を求める。平面上の任意の点$(x,y,z)$について、以下の式が成り立つ。

$\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{p_0})=0$

ここで、$\vec{p}=(x,y,z)$は平面上の任意の点、$\vec{p_0}=(x_0,y_0,z_0)$は平面上の1点、$\vec{n}=(a,b,c)$は平面の法線ベクトルである。これを展開すると、以下の式が得られる。

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

この式が与えられた平面の方程式である。任意の点$(x,y,z)$が平面上にあるかどうかを判定するには、この式を満たすかどうかを調べればよい。

Atcoderでこの問題に関連する問題としては、「ABC183 F」がある。

「ABC183 F」: https://atcoder.jp/contests/abc183/tasks/abc183_f
レーティング難易度(★): 2200
ACした回答者に絞った場合のレーティング帯の範囲(数値): 1987 - 2346
レーティング難易度(%): 3.3%
レーティング(数値): 2222
AC率(%): 21.4%
ACしたスコアの高い回答者: https://atcoder.jp/users/ray16
解説ブログ: https://ray16.hatenablog.com/entry/2020/10/24/234146