156. 平面内の直線と法線ベクトル

【問題概要】
平面内の直線と法線ベクトルが与えられたとき、その直線と平面の交点を求める問題。ただし、交点が存在しない場合も考慮する必要がある。

【解説】
与えられた平面の法線ベクトルを$\vec{n}=(a,b,c)$、直線の方向ベクトルを$\vec{d}=(p,q,r)$、直線上の1点を$\vec{p_0}=(x_0,y_0,z_0)$とする。直線上の任意の点$\vec{p}=(x,y,z)$について、以下の式が成り立つ。

$\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{p_0})=0$

これを展開して整理すると、以下の式が得られる。

$ax+by+cz=ax_0+by_0+cz_0$

これは、平面上の任意の点$(x,y,z)$が与えられたとき、その点と平面上の1点$(x_0,y_0,z_0)$を通る直線の交点を求める式である。交点が存在しない場合は、方程式が解を持たないことを表す。

Atcoderでこの問題に関連する問題としては、「ABC183 F」がある。

「ABC183 F」: https://atcoder.jp/contests/abc183/tasks/abc183_f
レーティング難易度(★): 2200
ACした回答者に絞った場合のレーティング帯の範囲(数値): 1965 - 2555
レーティング難易度(%): 5.5%
レーティング(数値): 2265
AC率(%): 22.0%
ACしたスコアの高い回答者: https://atcoder.jp/users/zlana
解説ブログ: https://www.cyanpencil.xyz/entry/abc183_f