155. 平面内の直線と方向ベクトル

【問題概要】
平面内の直線とその方向ベクトルが与えられたとき、その直線と平面の交点を求める問題。ただし、交点が存在しない場合も考慮する必要がある。

【解説】
与えられた平面上の任意の点を$\vec{p_0}=(x_0,y_0,z_0)$とし、平面の法線ベクトルを$\vec{n}=(a,b,c)$、直線の方向ベクトルを$\vec{d}=(p,q,r)$とする。直線上の任意の点$\vec{p}=(x,y,z)$について、以下の式が成り立つ。

$\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{p_0})=0$

直線の方向ベクトル$\vec{d}$と平面の法線ベクトル$\vec{n}$が直交しているため、$\vec{n}\cdot\vec{d}=0$が成り立つ。これを用いて、$\vec{p}$について解くと以下の式が得られる。

$\vec{p}=\vec{p_0}+t\vec{d}$

ただし、$t$は任意の実数である。この式は、平面上の任意の点$(x,y,z)$が与えられたとき、その点を通り、方向ベクトルが$\vec{d}$である直線と平面の交点を求める式である。交点が存在しない場合は、方程式が解を持たないことを表す。

Atcoderでこの問題に関連する問題としては、「ABC144 F」がある。

「ABC144 F」: https://atcoder.jp/contests/abc144/tasks/abc144_f
レーティング難易度(★): 2300
ACした回答者に絞った場合のレーティング帯の範囲(数値): 2038 - 2457
レーティング難易度(%): 2.6%
レーティング(数値): 2327
AC率(%): 18.5%
ACしたスコアの高い回答者: https://atcoder.jp/users/d_e_l_
解説ブログ: https://d-e-l.com/2019/10/abc144f-geometric-placement/