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136. 求積法

2023/03/22に公開

【問題概要】
次の定積分を求める

\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx

【解説】
分母が二次式であるため、部分分数分解を行うと以下のようになる。

\frac{1}{1+x^2} = \frac{A}{1+ix}+\frac{B}{1-ix}

ここで、 $A$ , $B$ は未知定数である。この式を通分すると、

1 = A(1-ix)+B(1+ix)

$A$ , $B$ を求めるために、 $x=i$ と $x=-i$ のときの式の値を求めると、

A = \frac{1}{2i},\ B = -\frac{1}{2i}

よって、元の式は以下のように変形できる。

\begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx &= \int_0^1 \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+ix\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-ix\right)} dx \ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^1 \left(\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}-ix}-\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+ix}\right) dx \ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\log\left|\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-ix}{\frac{1}{\sqrt{2}}+ix}\right|\right]_0^1 \ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\log\left|\frac{1-i}{1+i}\right|\right] \ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\log(2-\sqrt{2}) \end{aligned}

【関連する問題】
Atcoderの類題は以下の通り。