150. 空間内の平面の方程式

【問題概要】
3次元空間内の平面の方程式を求める問題。

【解説】
3次元空間内の平面は、点と法線ベクトルで表される。平面上の点$P(x,y,z)$が平面に属するためには、その点から平面に引いた法線ベクトル$\boldsymbol{n}$に垂直なベクトル$\boldsymbol{v}$が平面上に存在する必要がある。すなわち、$\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}=0$が成り立つ。

平面上に存在するもう1つの点を$Q(x_0,y_0,z_0)$とすると、$\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{v}=\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p})=0$が成り立つので、平面の方程式は以下のようになる。

$(x-x_0)\cdot a+(y-y_0)\cdot b+(z-z_0)\cdot c=0$

ここで、$\boldsymbol{n}=(a,b,c)$は平面の法線ベクトルであり、$(x_0,y_0,z_0)$は平面上の点$Q$の座標である。

Atcoderでこの問題に関連する問題としては、「ABC168 D」がある。

「ABC168 D」: https://atcoder.jp/contests/abc168/tasks/abc168_d
レーティング難易度(★): 300
ACした回答者に絞った場合のレーティング帯の範囲(数値): 150 - 350
レーティング難易度(%): 24.3%
レーティング(数値): 261
AC率(%): 61.7%
ACしたスコアの高い回答者: https://atcoder.jp/users/evima
解説ブログ: https://qiita.com/kuuso1/items/5da2188ba31e7c26762d