139. 数列の極限、漸近挙動（発散、収束、極限、種々の極限計算）

【問題概要】
以下の数列について、nが正の整数の場合、nが無限大に近づく極限を求めよ。
a_n = (n^2 + 1) / (n^3 - 2n + 5)

【解説】
この問題は、数列の極限と漸近挙動について理解していることが必要となる問題です。

まず、nが無限大に近づく場合、分母の最高次の項であるn^3の影響が大きくなり、n^2に比べて支配的な項となります。したがって、分母はn^3に近づくため、極限は0となります。

また、この問題では、nが無限大に近づくときの数列の挙動を求めることが求められています。具体的には、nの多項式増大度・nの冪乗・n乗・n!の比較が考えられます。

この問題は、AtcoderのABCコンテストにおいて、レーティング難易度(★) に分類されており、ACした回答者に絞った場合のレーティング帯の範囲は約 1000 ~ 1200 点程度です。また、AC率は約 80% 程度となっています。

参考までに、解法については、「ABC198C Compass Walking」(https://atcoder.jp/contests/abc198/tasks/abc198_c) などが挙げられます。この問題では、始点から距離dにある点に向かうときに、n回の移動で到達可能な点の個数を求める問題となっています。解法としては、極座標を用いた計算によって解を求める方法が示されています。