Chapter 03

線形代数 行列式編

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2021.02.24に更新

📌 行列式の特性

行列のところで行基本変形を使った連立1次方程式を解きました.その方法以外にもこの行列式を使って解くことができます.特定の条件を満たすと行列式の計算が簡単になるため,行基本変形を使って変形してから行列式を計算するという方法もあります.
次に,行列が正則(逆行列が存在する)かどうかが行列式からわかります.
そして,行列式はベクトルとも関係があります.面積(体積),外積,スカラー3重積に行列式が使われます.

📌 行列式の定義

行列式は正方行列から得られるスカラーです.次のように表します.

\det A \quad \text{または} \quad |A|

行列の成分を表記して

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \quad \text{または} \quad \left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|

というようにすることもあります.

行列式を計算するために,n次正方行列の各行各列からそれぞれ1つずつとりだしたn個の成分の積をn!個作ります.それらに対応した符号をかけたものの総和が行列式となります.ややこしいですが,1つずつ確認していきます.

最初に,行列の各行各列からそれぞれ1つずつとりだしてn個の成分の積をつくることについてです.ここで次の行列式を考えてみます.

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right|

まず,1列目(a_{11},a_{12})からa_{11}を取り出します.次に2列目(a_{12},a_{22})からは1列目で取った行の成分を選ぶことができません.つまり,a_{12}を取り出すことができませんので,a_{22}を取り出します.よって取り出した成分の積は

a_{11} a_{22}

となります.今度は1列目からa_{21}を取り出すと,2列目のa_{22}は取り出せないので,a_{12}を取り出すことになります.よって

a_{12} a_{21}

となります.今度は3次正方行列で考えてみます.

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|

1列目からa_{11}を取り出します.

\left|\begin{matrix}a_{11}&\cdot&\cdot\\\cdot&a_{22}&a_{23}\\\cdot&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|

2列目ではa_{22}, a_{32}のどちらかを取り出せますので,a_{32}を取り出してみます.

\left|\begin{matrix}a_{11}&\cdot&\cdot\\\cdot&\cdot&a_{23}\\\cdot&a_{32}&\cdot\end{matrix}\right|

そうすると3列目ではa_{23}しか取り出せないので

a_{11} a_{32} a_{23}

となります.同じようにa_{21} a_{12} a_{33}を取り出す場合は

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| \Rightarrow \left|\begin{matrix}\cdot&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&\cdot&\cdot\\\cdot&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| \Rightarrow \left|\begin{matrix}\cdot&a_{12}&\cdot\\a_{21}&\cdot&\cdot\\\cdot&\cdot&a_{33}\end{matrix}\right|

となっています.
このような成分の積がn!個作れます.n!は階乗を表していて,3! = 1\times 2\times 3 = 6という意味です.つまり,2次正方行列では2!=1\times 2 = 2個,3次正方行列では3! = 1\times 2\times 3 = 6個作れることになります.確認してみましょう.

\left|\begin{matrix}a_{11}&\cdot\\\cdot&a_{22}\end{matrix}\right| = a_{11} a_{22} \qquad \left|\begin{matrix}\cdot&a_{12}\\a_{21}&\cdot\end{matrix}\right| = a_{12} a_{21}
\begin{aligned} \left|\begin{matrix}a_{11}&\cdot&\cdot\\\cdot&\cdot&a_{23}\\\cdot&a_{32}&\cdot\end{matrix}\right| &= a_{11} a_{32} a_{23} \\ \left|\begin{matrix}a_{11}&\cdot&\cdot\\\cdot&a_{22}&\cdot\\\cdot&\cdot&a_{33}\end{matrix}\right| &= a_{11} a_{22} a_{33} \\ \left|\begin{matrix}\cdot&a_{12}&\cdot\\a_{21}&\cdot&\cdot\\\cdot&\cdot&a_{33}\end{matrix}\right| &= a_{21} a_{12} a_{33} \\ \left|\begin{matrix}\cdot&\cdot&a_{13}\\a_{21}&\cdot&\cdot\\\cdot&a_{32}&\cdot\end{matrix}\right| &= a_{21} a_{32} a_{13} \\ \left|\begin{matrix}\cdot&\cdot&a_{13}\\\cdot&a_{22}&\cdot\\a_{31}&\cdot&\cdot\end{matrix}\right| &= a_{31} a_{22} a_{13} \\ \left|\begin{matrix}\cdot&a_{12}&\cdot\\\cdot&\cdot&a_{23}\\a_{31}&\cdot&\cdot\end{matrix}\right| &= a_{31} a_{22} a_{13} \end{aligned}

次に,作り出した成分の積に符号をかけるのですが,このルールが置換数とか偶置換・奇置換とか面倒です.ところが,3次行列式の場合は単純明快な法則があります.次の図を見てください.

sarrus3

3次行列式の成分を横に2回並べて,左上から右下に取り出した成分の積は正の符号,右上から左下に取り出した成分の積は負の符号がつきます.これを サラスの法則 といいます.この法則を使って符号をつけると,3次行列式は

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ &\quad - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}

となります.2次の場合は下図のように似たような法則になります.

sarrus2sm

よって,2次行列式は

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

となります.このような法則は2次と3次行列式のみで,4次以上にはこのようなルールは使えません.ですが,4次以上の行列式は3次行列式に変形できることが知られているので,2次と3次を理解していれば何とかなります.

📌 余因子展開

前のところで4次以上の行列式は3次行列式に変形できると言及しました.これについて詳しく見ていきましょう.まず,3次行列式は

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ &\quad - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}

でした.ここで1行目の成分(a_{11},a_{12},a_{13})でくくると

a_{11}\left(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right) - a_{12}\left(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right) + a_{13}\left(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right)

となります.これは,行列式を使って

a_{11}\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| - a_{12}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}\right| + a_{13}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|

と表わせます.このようにある行または列の成分で展開することができます.そして,このような展開はすべての行列式に対して行うことができます.つまり,例えば5次行列式のときは,4次行列式に,そこからさらに3次行列式に展開することができるわけです.
ここで,このような展開を行ったときに,行列式に正負の符号がつきます.一般にある成分(a_{ij})でくくった行列式の符号は

(-1)^{i+j}

となります.これは次のように

\begin{pmatrix}+&-&+&\cdots\\ -&+&-&\cdots\\ +&-&+&\\ \vdots&\vdots&&\ddots\end{pmatrix}

という関係になっています.
n次行列式からij列の成分でくくったn-1次行列式に(-1)^{i+j}をかけたものを 余因子 といいます.そして,ある行,または列の成分の余因子をつかって行列式を展開することを 余因子展開 といいます.
この余因子展開を使って,4次行列式を1行目の成分で展開すると

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}\right| &= a_{11}\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}\right| - a_{12}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\ a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}\right| \\ &\quad + a_{13}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{matrix}\right| - a_{14}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{matrix}\right| \end{aligned}

となります.

📌 行列式の基本性質

ここでは行列式の様々な性質を見ていきます.一般的な行列は表記せず,3次行列式や2次行列式を使って説明しますが,n次行列に対してもそのまま適用することができます.

まず,ある行列の行または列のすべての成分が0であれば,行列式の値が0になります.

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = 0 \qquad \left|\begin{matrix}0&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = 0

これはすべての成分の積に,0となっている行または列の成分が含まれているからです.
次に,行列式の2つの行または列が同じ場合は行列式の値が0になります.たとえば,2次行列式だと

\left|\begin{matrix}a&b\\a&b\end{matrix}\right| = ab-ba = 0 \qquad \left|\begin{matrix}a&a\\b&b\end{matrix}\right| = ab-ab = 0

となります.3次行列式では

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ &\quad - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}

これの3行目に1行目を代入してみると

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{11}&a_{12}&a_{13}\end{matrix}\right| &= a_{11}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{23}a_{12} - a_{12}a_{21}a_{13} \\ &\quad + a_{12}a_{23}a_{11} + a_{13}a_{21}a_{12} - a_{13}a_{22}a_{11} \\ &= \left(a_{11}a_{22}a_{13}-a_{13}a_{22}a_{11}\right)+ \\ &\quad\left(a_{12}a_{23}a_{11}-a_{11}a_{23}a_{12}\right)+ \\ &\quad\left(a_{13}a_{21}a_{12}-a_{12}a_{21}a_{13}\right) \\ &= 0 + 0 + 0 = 0 \end{aligned}

となって0になります.

今度は次のような3次正方行列を考えます.

\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}

この行列の行列式は

\begin{aligned} &\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = \\ &\quad a_{11}\left(a_{22}+b_{22}\right)a_{33} -a_{11}\left(a_{23}+b_{23}\right)a_{32} -a_{12}\left(a_{21}+b_{21}\right)a_{33} \\ &\quad +a_{12}\left(a_{23}+b_{23}\right)a_{31} +a_{13}\left(a_{21}+b_{21}\right)a_{32} -a_{13}\left(a_{22}+b_{21}\right)a_{31} \end{aligned}

となります.この括弧内を分解して展開すれば

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| +\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|

となります.つまり,ある行が2項の和になっている場合には,2つの行列式に分解することができます.また2項が同じ数の場合

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}+a_{21}&a_{22}+a_{22}&a_{23}+a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| &= \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| +\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| \\ &= 2\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| \end{aligned}

となります.この演算は繰り返し行うことができるので

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ ka_{21}&ka_{22}&ka_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = k\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|

が成立します.これは行だけでなく列をk倍すると,行列式の値もk倍になります.

次に行の入れ換えによって行列式の符号が反転します.余因子展開を使って確認してみます.3次行列式を1行目を余因子展開をすると

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = a_{11}\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| -a_{12}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}\right| +a_{13}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|

ここで,1行目と2行目を入れ換えて,2行目で余因子展開を行うと

\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = -a_{11}\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| +a_{12}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}\right| -a_{13}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right|

となるので

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = -\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|

となります.今度は1行目と3行目を入れ替えて,3行目で余因子展開をすると

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{11}&a_{12}&a_{13}\end{matrix}\right| &= a_{11}\left|\begin{matrix}a_{32}&a_{33}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}\right| -a_{12}\left|\begin{matrix}a_{31}&a_{33}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}\right| +a_{13}\left|\begin{matrix}a_{31}&a_{32}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right| \\ &= a_{11}a_{23}a_{32}-a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31} \\ &\quad +a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{22}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32} \end{aligned}

符号は変わっていませんが,余因子の行が入れ替わっています.元の入れ替える前と比べると

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| &= a_{11}\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| -a_{12}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}\right| +a_{13}\left|\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}\right| \\ &= -a_{11}a_{23}a_{32}+a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31} \\ &\quad -a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \end{aligned}

符号が反転していることがわかります.

ここまでいくつかの基本性質を見てきました.これをまとめると

  • 行列式の行または列のすべての成分が0であれば,行列式の値は0
  • 行列式の2つの行または列が同じ場合,行列式の値は0
  • 行列式のある行が2項の和になっている場合,2つの行列式に分解できる
  • 行列式のある行または列をk倍すると,行列式の値もk
  • 行列式の行または列を入れ替えると,行列式の値の符号が反転する

となります.

📌 行および列基本変形

係数行列および拡大係数行列に対して行った行基本変形と同じような操作が行列式に対しても行うことができます.さらに行列式では,列に対しても同様の操作を行うことができます.ただし,行列式における行基本変形では注意することがあります.
まず,行列式では他の行の実数倍をある行に加えても,その値が変わりません.次の3次行列式で2行目に3行目のk倍したものを加算した場合

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}+ka_{31}&a_{22}+ka_{32}&a_{23}+ka_{33}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|+ k\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|

となり,右辺の2項目は2つの行が同じなので,その値は0です.よって

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}+ka_{31}&a_{22}+ka_{32}&a_{23}+ka_{33}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|

となります.
次に,行基本変形である行をm倍すると,行列式の値もm倍されます.

\begin{aligned} &\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ ma_{21}+na_{31}&ma_{22}+na_{32}&ma_{23}+na_{33}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| \\ &\quad = m\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|+ n\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = m\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| \end{aligned}

そして,1列目の2行目以降のすべての成分,または1行目の2列目以降のすべての成分が0のとき,n-1次行列式に変形することができます.

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| &= a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} = a_{11}\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| \\ \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| &= a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} = a_{11}\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| \end{aligned}

これらを使って実際に次の行列式を計算してみます.

\left|\begin{matrix}3&9&5&7\\0&0&7&2\\0&2&5&3\\0&4&8&3\end{matrix}\right|

1列目が最初の成分以外0なので

3\left|\begin{matrix}0&7&2\\2&5&3\\4&8&3\end{matrix}\right|

と変形できます.次に,3行目に-2倍した2行目を足します

3\left|\begin{matrix}0&7&2\\2&5&3\\0&-2&-3\end{matrix}\right|

そして,1行目と2行目を入れ換えると,符号が反転します.

-3\left|\begin{matrix}2&5&3\\0&7&2\\0&-2&-3\end{matrix}\right|

ここで,また1列目の最初の成分以外が0になったので

(-3\times 2)\left|\begin{matrix}7&2\\-2&-3\end{matrix}\right| = -6\left|\begin{matrix}7&2\\-2&-3\end{matrix}\right|

となりました.あとは2次行列式を計算して

-6\left|\begin{matrix}7&2\\-2&-3\end{matrix}\right| = -6 \times (7\times -3 - 2\times -2) = -6 \times -17 = 102

となります.この行列式を余因子展開で計算した場合

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}3&9&5&7\\0&0&7&2\\0&2&5&3\\0&4&8&3\end{matrix}\right| &= 3\left|\begin{matrix}0&7&2\\2&5&3\\4&8&3\end{matrix}\right| -9\left|\begin{matrix}0&7&2\\0&5&3\\0&8&3\end{matrix}\right| +5\left|\begin{matrix}0&0&2\\0&2&3\\0&8&3\end{matrix}\right| -7\left|\begin{matrix}0&7&2\\0&5&3\\0&8&3\end{matrix}\right| \\ &= 3\left|\begin{matrix}0&7&2\\2&5&3\\4&8&3\end{matrix}\right| \\ &= (3\times 0)\left|\begin{matrix}5&3\\8&3\end{matrix}\right| -(3\times 7)\left|\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right| +(3\times 2)\left|\begin{matrix}2&5\\4&8\end{matrix}\right| \\ &= -21\left|\begin{matrix}2&3\\4&3\end{matrix}\right| + 6\left|\begin{matrix}2&5\\4&8\end{matrix}\right| \\ &= -21(6-12)+6(16-20) = -21 \times -6 + 6 \times -4 = 126-24 \\ &= 102 \end{aligned}

となります.

行列式の計算では,行列を特定の形に変形すると計算が簡単になります.次の行列を見てください.

\begin{pmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}

このように対角成分以外のすべての成分が0になっている行列のことを 対角行列 といいます.この対角行列の行列式は

\left|\begin{matrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{matrix}\right| = a_{11}a_{22}a_{33}

のように,対角成分の積になります.さらに

\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{pmatrix}

このような対角成分の下にある成分がすべて0の行列のことを 三角行列 または 上三角行列 といいます.これもまた,行列式の値は対角成分の積になります.

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{matrix}\right| = a_{11}a_{22}a_{33}

これは,1列目の最初の成分以外がすべて0なので

\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{matrix}\right| = a_{11}\left|\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\0&a_{33}\end{matrix}\right| = a_{11}\left(a_{22}a_{33}-a_{23}\times 0\right) = a_{11}a_{22}a_{33}

という関係になるからです.
このことから,行または列基本変形を使って三角行列に変形することができれば行列式の計算が簡単に行えることがわかります.これを使って次の行列式を計算してみます.

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}2&3&5\\7&11&13\\17&19&23\end{matrix}\right| &= \left|\begin{matrix}2&3&5\\1&2&-2\\17&19&23\end{matrix}\right| \quad r_2-3r_1 \\ &= \left|\begin{matrix}0&-1&9\\1&2&-2\\17&19&23\end{matrix}\right| \quad r_1-2r_2 \\ &= -\left|\begin{matrix}1&2&-2\\0&-1&9\\17&19&23\end{matrix}\right| \quad r_1 \Leftrightarrow r_2 \\ &= -\left|\begin{matrix}1&2&-2\\0&-1&9\\0&-15&57\end{matrix}\right| \quad r_3-17r_1 \\ &= -\left|\begin{matrix}1&2&-2\\0&-1&9\\0&0&-78\end{matrix}\right| \quad r_3+(-15)r_2 \\ &= -(1\times -1 \times -78) = -78 \end{aligned}

これも余因子展開による計算を見てみます.

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}2&3&5\\7&11&13\\17&19&23\end{matrix}\right| &= 2\left|\begin{matrix}11&13\\19&23\end{matrix}\right|-3\left|\begin{matrix}7&13\\17&23\end{matrix}\right|+5\left|\begin{matrix}7&11\\17&19\end{matrix}\right| \\ &= 2(11\times 23-13\times 19)-3(7\times 23-13\times 17)+5(7\times 19-11\times 17) \\ &= 2(253-247)-3(161-221)+5(133-187) \\ &= 2\times 6 - 3\times (-60) + 5\times (-54) \\ &= 12 + 180 - 270 = -78 \end{aligned}

となります.

📌 クラメールの公式

行列式を使って3元連立1次方程式を解く方法を見ていきます.次の連立1次方程式を考えます.

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \end{cases}

この係数行列は

\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}

となります.この行列式の1列目にx_1をかけると

\left|\begin{matrix}a_{11}x_1&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}x_1&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}x_1&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = x_1 \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|

となって,最初の行列式の値がx_1倍されます.ここで,最初の方程式を変形すると

\begin{cases} a_{11}x_1 = b_1 - a_{12}x_2 - a_{13}x_3 \\ a_{21}x_1 = b_2 - a_{22}x_2 - a_{23}x_3 \\ a_{31}x_1 = b_3 - a_{32}x_2 - a_{33}x_3 \end{cases}

という関係にあるので,行列式に代入すると

\left|\begin{matrix}a_{11}x_1&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}x_1&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}x_1&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}b_1 - a_{12}x_2 - a_{13}x_3&a_{12}&a_{13}\\ b_2 - a_{22}x_2 - a_{23}x_3&a_{22}&a_{23}\\ b_3 - a_{32}x_2 - a_{33}x_3&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|

この右辺の行列式を分解すると

\begin{aligned} &\left|\begin{matrix}b_1 - a_{12}x_2 - a_{13}x_3&a_{12}&a_{13}\\ b_2 - a_{22}x_2 - a_{23}x_3&a_{22}&a_{23}\\ b_3 - a_{32}x_2 - a_{33}x_3&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| \\ &\quad = \left|\begin{matrix}b_1&a_{12}&a_{13}\\b_2&a_{22}&a_{23}\\b_3&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| -x_2\left|\begin{matrix}a_{12}&a_{12}&a_{13}\\ a_{22}&a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| -x_3\left|\begin{matrix}a_{13}&a_{12}&a_{13}\\ a_{23}&a_{22}&a_{23}\\ a_{33}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| \end{aligned}

このとき,右辺の2項目と3項目の行列式には同じ列が含まれているので,行列式の値は0になります.整理すると

x_1\left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix}b_1&a_{12}&a_{13}\\b_2&a_{22}&a_{23}\\b_3&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right|

という関係が成立します.よって

x_1 = \frac{ \left|\begin{matrix}b_1&a_{12}&a_{13}\\b_2&a_{22}&a_{23}\\b_3&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| }{ \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| }

となって,x_1の解を求めることができます.同じように

x_2 = \frac{ \left|\begin{matrix}a_{11}&b_1&a_{13}\\a_{21}&b_2&a_{23}\\a_{31}&b_3&a_{33}\end{matrix}\right| }{ \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| } \qquad x_3 = \frac{ \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{21}&a_{22}&b_2\\a_{31}&a_{32}&b_3\end{matrix}\right| }{ \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}\right| }

と求めることができます.また,次のように2元連立1次方程式の場合

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases}

この解は

x_1 = \frac{ \left|\begin{matrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{matrix}\right| }{ \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right| } \qquad x_2 = \frac{ \left|\begin{matrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{matrix}\right| }{ \left|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right| }

となります.このように,分母に行列式,分子はその行列式の列を1列ずつ定数項に置き換えていくと解が求まります.これを クラメールの公式 といいます.このクラメールの公式はn次行列式すべてにあてはめることができます.

📌 ベクトルと行列式

最後にベクトルと行列式との関係性を見ていきます.
いま,2つの行ベクトル

\vec{a} = \begin{pmatrix}a_x&a_y\end{pmatrix} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}b_x&b_y\end{pmatrix}

をもつ行列

\begin{pmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{pmatrix}

の行列式は

\det\begin{pmatrix}\vec{a}\\\vec{b}\end{pmatrix} = \left|\begin{matrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{matrix}\right| = a_x b_y - a_y b_x

となります.行ベクトルを列ベクトルにしても行列式の値は同じになります.

\det\begin{pmatrix}{}^t\vec{a}&{}^t\vec{b}\end{pmatrix} = \left|\begin{matrix}a_x&b_x\\a_y&b_y\end{matrix}\right| = a_x b_y - b_x a_y = a_x b_y - a_y b_x

この値は,2つのベクトルを辺とする平行四辺形の面積になります.

2018-08-23_01h47_50

この平行四辺形の面積は

S = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta

で与えられます.ここで\thetaは2つのベクトルのなす角です.

2018-08-23_01h47_54

加法定理より

\sin\theta = \sin\left(\beta-\alpha\right) = \sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha

となります.よって

\sin\alpha = \frac{a_y}{|\vec{a}|} \quad \cos\alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|} \qquad \sin\beta = \frac{b_y}{|\vec{b}|} \quad \cos\beta = \frac{b_x}{|\vec{b}|}

の関係にあるので,さきほどの式に代入すると

S = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = |\vec{a}||\vec{b}| \left( \frac{b_y}{|\vec{b}|} \frac{a_x}{|\vec{a}|} - \frac{b_x}{|\vec{b}|} \frac{a_y}{|\vec{a}|} \right) = a_x b_y - a_y b_x

となり,平行四辺形の面積と一致しています.
次に3次元空間における3つのベクトルで考えてみます.次のような3つのベクトル

\vec{a} = \begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\end{pmatrix} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}b_x&b_y&b_z\end{pmatrix} \quad \vec{c} = \begin{pmatrix}c_x&c_y&c_z\end{pmatrix}

の行列式は

\det\begin{pmatrix}\vec{a}\\\vec{b}\\\vec{c}\end{pmatrix} = \left|\begin{matrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{matrix}\right|

となります.この値はこれら3つのベクトルを辺とする平行6面体の体積になります.

ここでベクトルの外積を思い出してみましょう.外積は2つの3次元ベクトル

\vec{a} = \begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix} \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{pmatrix}

としたとき,その外積は

\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}

で与えられました.そこで外積に行列式を使うと

\vec{a}\times\vec{b} = \left|\begin{matrix}\vec{e}_x&\vec{e}_y&\vec{e}_z\\ a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{matrix}\right|

で表すことができます.\vec{e}は単位ベクトルです.これを1行目で余因子展開すると

\begin{aligned} \left|\begin{matrix}\vec{e}_x&\vec{e}_y&\vec{e}_z\\ a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{matrix}\right| &= \vec{e}_x\left|\begin{matrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{matrix}\right| -\vec{e}_y\left|\begin{matrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{matrix}\right| +\vec{e}_z\left|\begin{matrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{matrix}\right| \\ &= \vec{e}_x\left(a_y b_z - a_z b_y\right) - \vec{e}_y\left(a_x b_z - a_z b_x\right) + \vec{e}_z\left(a_x b_y - a_y b_x\right) \end{aligned}

となります.これを成分表示すると

\begin{pmatrix}a_y b_z - a_z b_y\\ -\left(a_x b_z-a_z b_x\right)\\ a_x b_y - a_y b_x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_y b_z - a_z b_y\\ a_z b_x - a_x b_z\\ a_x b_y - a_y b_x\end{pmatrix}

となって,外積の値になりました.また,\vec{b}\times\vec{a}を計算してみると

\vec{b}\times\vec{a} = \left|\begin{matrix}\vec{e}_x&\vec{e}_y&\vec{e}_z\\ b_x&b_y&b_z\\a_x&a_y&a_z\end{matrix}\right|

となります.行列式で2つの行を交換すると符号が反転しますから

\vec{b}\times\vec{a} = \left|\begin{matrix}\vec{e}_x&\vec{e}_y&\vec{e}_z\\ b_x&b_y&b_z\\a_x&a_y&a_z\end{matrix}\right| = -\left|\begin{matrix}\vec{e}_x&\vec{e}_y&\vec{e}_z\\ a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{matrix}\right| = -\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)

となって,外積でかける順番を変えるとベクトルの方向が逆になる性質が確認できます.

次に,行列式を使った外積の余因子展開と平行6面体の体積の余因子展開を並べてみると

\begin{aligned} \vec{b}\times\vec{c} =& \left|\begin{matrix}\vec{e}_x&\vec{e}_y&\vec{e}_z\\ b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{matrix}\right| = \vec{e}_x\left|\begin{matrix}b_y&b_z\\c_y&c_z\end{matrix}\right| -\vec{e}_y\left|\begin{matrix}b_x&b_z\\c_x&c_z\end{matrix}\right| +\vec{e}_z\left|\begin{matrix}b_x&b_y\\c_x&c_y\end{matrix}\right| \\ & \left|\begin{matrix}a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{matrix}\right| = a_x\left|\begin{matrix}b_y&b_z\\c_y&c_z\end{matrix}\right| -a_y\left|\begin{matrix}b_x&b_z\\c_x&c_z\end{matrix}\right| +a_z\left|\begin{matrix}b_x&b_y\\c_x&c_y\end{matrix}\right| \end{aligned}

外積を平行6面体の体積と同じ式にするためには,外積とベクトル\vec{a}の内積を計算します.

\begin{aligned} \vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) &= \left(a_x\vec{e}_x+a_y\vec{e}_y+a_z\vec{e}_z\right) \left(\vec{e}_x\left|\begin{matrix}b_y&b_z\\c_y&c_z\end{matrix}\right| -\vec{e}_y\left|\begin{matrix}b_x&b_z\\c_x&c_z\end{matrix}\right| +\vec{e}_z\left|\begin{matrix}b_x&b_y\\c_x&c_y\end{matrix}\right|\right) \\ &= a_x\left|\begin{matrix}b_y&b_z\\c_y&c_z\end{matrix}\right| -a_y\left|\begin{matrix}b_x&b_z\\c_x&c_z\end{matrix}\right| +a_z\left|\begin{matrix}b_x&b_y\\c_x&c_y\end{matrix}\right| \end{aligned}

つまり

\vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \left|\begin{matrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{matrix}\right|

という関係になります.これをベクトルの スカラー3重積 といいます.そして,これは3つのベクトルがつくる平行6面体の体積となります.ここでは解説しませんが,スカラー3重積は三角形と直線との交差判定に使ったりします.

📌 さいごに

ベクトル,行列,行列式と線形代数の基本となる要素を説明してきましたが,いかがだったでしょうか.入門ということで用語や定義も少なめにしたので,人によっては物足りなかったかもしれませんね.さらに線形代数に興味が出たり勉強したくなったときは他のサイトや参考書などを参照してください.
はじめに書いたとおり,主にCG系の人向けにまとめました.参考になれば幸いです.

📌 参考文献

  • 村上雅人「なるほど線形代数」海鳴社,2001
  • 佐藤恒雄・野澤宗平「初歩から学べる線形代数」培風館,2007