はじめに
齋藤『線型代数入門』を読んでいて，第5章 [1.4] の必要性の証明が頭の中できなかった．そのときに書いた証明をここにも残しておく．
命題と証明
命題 \enspace 行列 A が対角行列に相似である (すなわち P^{-1}AP が対角行列になるような正則行列 P が存在する) ためには，A の各特性根 \alpha に対する固有空間の次元が，\alpha の重複度に一致することが必要かつ十分な条件である．
証明 \enspace (十分性) \alpha_1, \cdots, \alpha_k を A のすべての特性根とし，\alpha_i の重複度を n_i とする．A の次数を n とすると n_1 + \cdots + n_k = n である．\alpha_i に対する固有空間 W_i の次元が \alpha_i の重複度に一致するならば \dim(W_1) + \cdots + \dim(W_k) = \dim(\bm{C}^n) となるので，W_1 \dotplus \cdots \dotplus W_k = \bm{C}^n が成り立つ．よって [1.2] より A は対角行列に相似である．
(必要性) \alpha_1, \cdots, \alpha_k を A のすべての固有値とし，\alpha_i に対する固有空間を W_i とする．A が対角行列に相似であるとすると，[1.2] より W_1 \dotplus \cdots \dotplus W_k = \bm{C}^n が成り立つ．W_i の次元を n_i とし，W_i の基底を E_i = \langle \bm{e}_{m_i + 1}, \cdots, \bm{e}_{m_i + n_i} \rangle (m_i = \sum_{j < i} n_j) とすると，E = \langle \bm{e}_1, \cdots, \bm{e}_n \rangle は \bm{C}^n の基底となる．E_i に関する T_A\vert_{W_i} の行列を B_i，E に関する T_A の行列を B とすると，各 W_i は T_A による不変部分空間なので，
\begin{equation*}
B =
\begin{pmatrix}
B_1 & & O \\
& \ddots & \\
O & & B_k
\end{pmatrix}
\end{equation*}
となる (p.119)．T_A\vert_{W_i} = T_{A_i} とすると，正則行列 P_i が存在して B_i = P_i^{-1}A_iP_i と書けるが，T_A\vert_{W_i} はスカラー変換 \alpha_i \operatorname{id}_{W_i} であるから A_i = \alpha_i I_{n_i} となり，B_i = \alpha_i I_{n_i} であることがわかる．B は正則行列 P が存在して B = P^{-1}AP と書けるので，
\begin{equation*}
P^{-1}AP =
\begin{pmatrix}
\alpha_1 I_{n_1} & & O \\
& \ddots & \\
O & & \alpha_k I_{n_k}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
が成り立つ．よって，A の特性多項式は
\begin{align*}
\Phi_A(x) &= \Phi_{P^{-1}AP}(x) \\
&= \det(xI_n - P^{-1}AP) \\
&=
\begin{vmatrix}
(x - \alpha_1) I_{n_1} & & O \\
& \ddots & \\
O & & (x - \alpha_k) I_{n_k}
\end{vmatrix} \\
&= (x - \alpha_1)^{n_1} \cdots (x - \alpha_k)^{n_k}
\end{align*}
となるので，特性根 \alpha_i の重複度は \alpha_i に対する固有空間の次元に一致する．\enspace (証明終)
参考文献
- 齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会，1966．
Discussion