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[数学]三角形の面積と円の面積から円周率（π）を求める

2023/02/04に公開

はじめに

円周率（π）＝3.14159...を、三角形の面積と円の面積からできるだけ正確に求めてみます。

半径１の円と２つの三角形（△OAB、△OAC）について考えます。

（前提条件）0＜\theta＜90°とします。

三角形OABの面積は

△OAB＝\dfrac{1}{2}×1×1×\sin\theta=\dfrac{1}{2}\sin\theta

扇形OAB（円の一部）の面積は

OAB＝1×1×\pi×\dfrac{\theta}{360°}

三角形OACの面積は

△OAC＝\dfrac{1}{2}×1×1×\tan\theta=\dfrac{1}{2}\tan\theta

参考図より

△OAB＜扇形OAB＜△OAC

\dfrac{1}{2}\sin\theta＜\pi×\dfrac{\theta}{360°}＜\dfrac{1}{2}\tan\theta

180°×\dfrac{\sin\theta}{\theta}＜　\pi　＜180°×\dfrac{\tan\theta}{\theta}　・・・（１）

θ＝60°・45°・30°・15°等の場合、平方根を使って上記の不等式を表すことができます。

3×\dfrac{\sqrt{3}}{2}＜　\pi　＜3×\sqrt{3}

・・・・・　2.59807621135　＜　π　＜　5.19615242271

4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}＜　\pi　＜4×1

・・・・・　2.82842712475　＜　π　＜　4

6×\dfrac{1}{2}＜　\pi　＜6×\dfrac{1}{\sqrt{3}}

・・・・・　3　＜　π　＜　3.46410161514

12×\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}＜　\pi　＜12×(2-\sqrt{3})

・・・・・　3.10582854123　＜　π　＜　3.21539030917

sin15°、tan15°は三角関数の加法定理を使いました。

※\sin15°=\sin(60°-45°）＝\sin60°\cos45°-\cos60°\sin45°

=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}

※\tan15°=\tan(60°-45°）＝\dfrac{\tan60°-\tan45°}{1+\tan60°\tan45°}

=\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}・1}=2-\sqrt{3}

180×\sin1°＜　\pi　＜180×\tan1°

・・・・・　3.14143315871　＜　π　＜　3.14191168708

1800×\sin0.1°＜　\pi　＜180×\tan0.1°

・・・・・　3.14159105862　＜　π　＜　3.14159584354

θを0に限りなく近づけると、両辺ともπの値に近づきますね。。。

ちなみに極限の式を使うと

\lim_{\theta \to 0}\dfrac{\sin\theta}{\theta} = 1、\lim_{\theta \to 0}\dfrac{\tan\theta}{\theta} = 1

なので、（１）の式の両辺とも0に近づけると、結果的にπになりますね。