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[数学]三角形の面積と円の面積から円周率(π)を求める

2023/02/04に公開

はじめに

円周率(π)=3.14159...を、三角形の面積と円の面積からできるだけ正確に求めてみます。

参考図

半径1の円と2つの三角形(△OAB、△OAC)について考えます。

(前提条件)0<\theta<90°とします。

面積の式

三角形OABの面積は

△OAB=\dfrac{1}{2}×1×1×\sin\theta=\dfrac{1}{2}\sin\theta

扇形OAB(円の一部)の面積は

OAB=1×1×\pi×\dfrac{\theta}{360°}

三角形OACの面積は

△OAC=\dfrac{1}{2}×1×1×\tan\theta=\dfrac{1}{2}\tan\theta

参考図より

△OAB<扇形OAB<△OAC
\dfrac{1}{2}\sin\theta<\pi×\dfrac{\theta}{360°}<\dfrac{1}{2}\tan\theta
180°×\dfrac{\sin\theta}{\theta}< \pi <180°×\dfrac{\tan\theta}{\theta} ・・・(1)

θの値を小さくすると

θ=60°・45°・30°・15°等の場合、平方根を使って上記の不等式を表すことができます。

1. θ=60°のとき

3×\dfrac{\sqrt{3}}{2}< \pi <3×\sqrt{3}

・・・・・ 2.59807621135 < π < 5.19615242271

2. θ=45°のとき

4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}< \pi <4×1

・・・・・ 2.82842712475 < π < 4

3. θ=30°のとき

6×\dfrac{1}{2}< \pi <6×\dfrac{1}{\sqrt{3}}

・・・・・ 3 < π < 3.46410161514

4. θ=15°のとき

12×\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}< \pi <12×(2-\sqrt{3})

・・・・・ 3.10582854123 < π < 3.21539030917

sin15°、tan15°は三角関数の加法定理を使いました。

※\sin15°=\sin(60°-45°)=\sin60°\cos45°-\cos60°\sin45°
=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}
※\tan15°=\tan(60°-45°)=\dfrac{\tan60°-\tan45°}{1+\tan60°\tan45°}
=\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}・1}=2-\sqrt{3}

5. θ=1°のとき

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180×\sin1°< \pi <180×\tan1°

・・・・・ 3.14143315871 < π < 3.14191168708

6. θ=0.1°のとき

1800×\sin0.1°< \pi <180×\tan0.1°

・・・・・ 3.14159105862 < π < 3.14159584354

θを0に限りなく近づけると、両辺ともπの値に近づきますね。。。

おまけ

ちなみに極限の式を使うと

\lim_{\theta \to 0}\dfrac{\sin\theta}{\theta} = 1、\lim_{\theta \to 0}\dfrac{\tan\theta}{\theta} = 1

なので、(1)の式の両辺とも0に近づけると、結果的にπになりますね。

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