Symmetric Decomposition Problem(SDP)について

$x,y$をn次元置換群の元。
$a,b$をn次元整数ベクトルとする。
$A=(x,a),B=(y,b)$とし、この2つの元の間に以下のような積を定義する。
$AB=(xy,y(a)+b)$
いま、$C=A^mBA^n$とするとき、$C,B,m,n$を満たすような元$A$を求める問題をSDPと言う。

この問題の特徴は、似た形の問題である共役元探索問題に対する線形代数攻撃が適用できないことである。例えば、共役元探索問題を解読する方法として、
$y=axa^{-1} \rightarrow ya=ax$
と置くことで線形代数攻撃が可能になるが、式の左右が非対称なため線形代数攻撃ができなくなるというものである。