表現可能関手

局所的に小さな圏\mathbf Cについて、ある対象A \in \rm{ob}(C)を固定したhom関手\hom_C(A, \_): \mathbf C \to \mathbf{Set}を、しばしば表現(Representation)と呼ぶ。

より一般的に、hom関手と自然同型であるような関手を表現可能関手(Representable functor)と呼び、\hom_C(A, \_)はFによって表現可能である、などという。

関手F: \mathbf C \to \mathbf{Set}が表現可能関手である場合、局所的に小さな圏\mathbf Cの任意の対象Xに対して\mathbf{Set}の同型射\epsilon_Xが存在する。
\epsilon_Xは同型射であるので、\epsilon_Xの逆射\epsilon^{-1}_Xが存在して、\epsilon_X \circ \epsilon^{-1}_X = \rm{id}_{F(X)}, \epsilon^{-1}_X \circ \epsilon_X = \rm{id}_{\hom_C(A, X)}を満たす。

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