確率変数メモ

確率変数

以下では $X, Y, Z, W$ を確率変数、$a, b, c, d$ を定数とする。

特性値

分散 (variance)

定義

$V [X] = E[X^2] - E[X]^2.$

性質

$V[aX + bY] = a^2V[X] + 2ab \, \mathrm{Cov} (X, Y) + b^2 V[Y].$

共分散 (covariance)

定義

$\mu_X = E[X], \quad \mu_Y = E[Y]\,$ とすると
$\mathrm{Cov} (X, Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)].$

性質

この辺 が参考になる

• $\mathrm{Cov} (X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y].$
• $\mathrm{Cov} (X, X) = V[X].$
• $\mathrm{Cov} (X + c, Y) = \mathrm{Cov} (X, Y).$
• $\mathrm{Cov} (aX, Y) = a\,\mathrm{Cov} (X, Y), \qquad \mathrm{Cov}(X+Y, Z) = \mathrm{Cov}(X, Z) + \mathrm{Cov}(Y, Z).$
  • つまり多項式の展開みたいなことができる^[1]:
    $\mathrm{Cov} (aX+bY, cZ+dW) \\ \qquad = ac\,\mathrm{Cov} (X, Z) + ad\,\mathrm{Cov}(X, W) + bc\,\mathrm{Cov}(Y, Z) + bd\,\mathrm{Cov}(Y, W).$

脚注

1. ただし定数項が消える点は注意