3桁での証明
3の倍数の見つけ方として各位の和の数が3の倍数だと、もとの数は3の倍数というものがあります。
3桁の数字の場合で証明してみましょう。a_1 + a_2 + a_3が3の倍数なら100 a_3 + 10 a_2 + a_1が3の倍数であることを示せば良いです。つまり
a_1 + a_2 + a_3 = 3p \implies 100 a_3 + 10 a_2 + a_1 = 3q
であることを示せば良いです。
\begin{split}
100 a_3 + 10 a_2 + a_1 &= (99 a_3 + a_3) + (9 a_2 + a_2) + a_1 \\
&= (a_3 + a_2 + a_1) + 3(33 a_3 + 3 a_2)
\end{split}
a_1 + a_2 + a_3 = 3pより
\begin{split}
&= 3p + 3(33 a_3 + 3 a_2) \\
&= 3(p + 33 a_3 + 3 a_2)
\end{split}
q = p + 33 a_3 + 3 a_2 とすると
\begin{split}
&= 3q
\end{split}
逆方向も成り立つので必要十分条件になります。
\begin{split}
a_1 + a_2 + a_3 &= (100 a_3 + 10 a_2 + a_1) - (99 a_3 + 9 a_2) \\
&= 3q - 3(33 a_3 + 3 a_2) \\
&= 3(q - 33 a_3 + 3 a_2)
\end{split}
p = q - 33 a_3 + 3 a_2とすると
\begin{split}
&= 3p
\end{split}
n桁で証明
こんどはn桁の整数で考えます。
\sum_{i=1}^n a_i = 3p \implies \sum_{i=1}^n a_i 10^{i -1} = 3q
を証明することになります。3桁で解いているので考え方は難しくないですが、式で書こうとすると(10^{i-1} - 1)をどうするかでちょっと難しい...
\begin{split}
\sum_{i=1}^n a_i 10^{i-1} &= \sum_{i=1}^n \left\{ a_i (10^{i-1} - 1) + a_i \right\} \\
&= \sum_{i=1}^n a_i + \sum_{i=2}^n a_i(10^{i-1} - 1)\\
&= \sum_{i=1}^n a_i + \sum_{i=2}^n \left(a_i(10 - 1) \sum_{k=1}^{i-1} 10^{k - 1}\right)\\
&= 3p + 3 \sum_{i=2}^n \left(3 a_i\sum_{k=1}^{i-1} 10^{k - 1}\right)\\
&= 3q
\end{split}
9, 99, 999, ...をどう表すか？ですかね。
9の倍数
こんな事を急に始めた理由は、「各位の和の数が9の倍数だと、もとの数は9の倍数になるよね？」と言われたからでした。なんとなくそんな気がしましたが、そうだっけ？ということでやってみましょう。
といいつつ、上の証明式で9が見え隠れしているので、こっちの方が素直に書けます。
\sum_{i=1}^n a_i = 9p \implies \sum_{i=1}^n a_i 10^{i-1} = 9q
\begin{split}
\sum_{i=1}^n a_i 10^{i-1} &= \sum_{i=1}^n \left\{ a_i (10^{i-1} - 1) + a_i \right\} \\
&= \sum_{i=1}^n a_i + \sum_{i=2}^n a_i(10^{i-1} - 1) \\
&= 9p + 9 \sum_{i=2}^n \left(a_i\sum_{k=1}^{i-1} 10^{k - 1}\right)\\
&= 9q
\end{split}
検索すればすぐわかる事ですが、頭の体操がてら証明してみました。
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