Chapter 02無料公開

I.1 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.08.02に更新
このチャプターの目次

解答

衝突直後の物体AおよびBの速度をV=\dot{x}(0)とおくと,運動量保存則より

\begin{aligned} mv&=(m+M)V\\ \therefore V&=\frac{m}{m+M}v \end{aligned}

となる.

衝突後の運動方程式は

(m+M)\ddot{x}=-kx

となる.よって,物体AおよびBは角振動数\omega=\sqrt{k/(m+M)}で原点を中心に単振動する.初期条件x(0)=0より,Aを振幅として

x(t)=A\sin(\omega t)

となる.速度は

\dot{x}(t)=A\omega\cos(\omega t)

となる.ゆえに,\dot{x}(0)=Vより,振幅A

\begin{aligned} \dot{x}(0)=A\omega=A\sqrt{\frac{k}{m+M}}&=\frac{m}{m+M}v=V\\ \therefore A&=\frac{m}{m+M}v\sqrt{\frac{m+M}{k}} \end{aligned}

となる.したがって,物体Bの位置x

x(t)=\frac{m}{m+M}v\sqrt{\frac{m+M}{k}}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m+M}}t\right)\tag{答}

である.

解説

位置xを時刻tの関数として求めるので,運動方程式を解きます.
内力のみが働くので運動量保存則が成立し,それを使って初期条件の速度\dot{x}(0)を求めます.
振幅Aは力学的エネルギー保存則

\frac{1}{2}(m+M)V^2=\frac{1}{2}kA^2

から求めることもできます.