解答

1.

滑車を半径a，高さlの円柱とし，密度を\rho_\mathrm{p}とすると

\rho_\mathrm{p}=\frac{M}{\pi a^2l}

である．滑車の支点Oまわりの慣性モーメントI_\mathrm{p}は

\begin{aligned} I_\mathrm{p}&=\iiint_\text{滑車}(x^2+y^2)\rho_\mathrm{p}dxdydz\\ &=\iiint_\text{滑車}r^2\rho_\mathrm{p}r\,drd\theta dz\\ &=\rho_\mathrm{p}\int_0^ar^3dr\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^ldz\\ &=\rho_\mathrm{p}\cdot\frac{a^4}{4}\cdot 2\pi\cdot l\\ &=\frac{M}{\pi a^2l}\cdot\frac{a^4}{4}\cdot 2\pi l \end{aligned}

\therefore I_\mathrm{p}=\frac{1}{2}Ma^2\tag{答}

である．

2.

重り1,2のy方向の運動方程式はそれぞれ

\left\{\begin{aligned} m_1\dot{v}_1&=T_1-m_1g\\ m_2\dot{v}_2&=T_2-m_2g \end{aligned}\right.

である．滑車の運動方程式は，時計回りを正として

I_\mathrm{p}\dot{\omega}_\mathrm{p}=a(T_2-T_1)

である．糸の伸びは無視できるので

v_1=-v_2=v_\mathrm{p}

とおける．また，滑車と糸の間にすべりはないので

v_\mathrm{p}=a\omega_\mathrm{p}

である．以上より，加速度は

\dot{v}_\mathrm{p}=\frac{2(m_2-m_1)}{M+2(m_1+m_2)}g

となる．初期状態ではすべて静止していることから

v_\mathrm{p}(t)=\frac{2(m_2-m_1)}{M+2(m_1+m_2)}gt\tag{答}

である．

解説

質量を無視できない滑車に関する問題です．
高校物理では滑車の慣性モーメントをゼロ(I_\mathrm{p}=0)とみなすので，運動方程式からわかるように左右の糸の張力が等しくなります(T_1=T_2)．
しかし，この問題のように滑車の質量を無視できない場合は糸の張力が等しいとは限りません．