解答
1.
運動量保存の法則より
\begin{aligned}
mv&=(m+\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v)-\mathrm{d}m(v+u)\\
&\cong mv+m\mathrm{d}v-u\mathrm{d}m
\end{aligned}
\therefore m\mathrm{d}v=u\mathrm{d}m\tag{答}
となる．
2.
ロケットの速度増加量\Delta vは
\begin{aligned}
\Delta v&=\int_{m=m_i}^{m=m_f}\mathrm{d}v\\
&=\int_{m_i}^{m_f}\frac{u}{m}\mathrm{d}m
\end{aligned}
\therefore\Delta v=u\ln\frac{m_f}{m_i}\tag{答}
となる．
解説
第1問全体は，ロケットがガスを噴出することで得られる推進力と姿勢制御についての問題です．
