Chapter 02無料公開

I.1 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.07.16に更新
このチャプターの目次

解答

0\lt\arccos x\lt \pi/2よりy(x)\gt 0である.式(1)両辺の自然対数をとると

\log y(x)=\log x\cdot\log(\arccos x)

となる.両辺をxで微分すると

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\log y(x)}{\mathrm{d}x}&=\frac{1}{x}\log(\arccos x)+\log x\cdot\frac{(\arccos x)'}{\arccos x}\\ \frac{y'(x)}{y(x)}&=\frac{1}{x}\log(\arccos x)-\frac{\log x}{\sqrt{1-x^2}\arccos x}\\ y'(x)&=\left[\frac{1}{x}\log(\arccos x)-\frac{\log x}{\sqrt{1-x^2}\arccos x}\right]y(x) \end{aligned}

となる.よって導関数は

\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}=\left[\frac{1}{x}\log(\arccos x)-\frac{\log x}{\sqrt{1-x^2}\arccos x}\right](\arccos x)^{\log x}\tag{答}

である.

解説

関数y(x)

y(x)=f(x)^{g(x)}

という形をしているので,対数微分を行うことにより導関数を求めることができます.