Chapter 02無料公開

I.1 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.02.11に更新
このチャプターの目次

解答

\begin{aligned} G(s)&=\mathcal{L}[g(t)]\\ &=\int_0^\infty\left[\int_0^\infty\frac{\sin^2(tx)}{x^2}dx\right]\exp(-st)dt\\ &=\int_0^\infty\left[\int_0^\infty\sin^2(tx)\exp(-st)dt\right]\frac{1}{x^2}dx\\ \end{aligned}

となる.ここで,虚数単位をiとすると

\begin{aligned} \sin^2(tx)&=\frac{1-\cos(2tx)}{2}\\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\frac{e^{2itx}+e^{-2itx}}{2}\\ &=\frac{1}{2}-\frac{e^{2itx}+e^{-2itx}}{4} \end{aligned}

であるから

\begin{aligned} \int_0^\infty\sin^2(tx)\exp(-st)dt&=\int_0^\infty\left(\frac{1}{2}-\frac{e^{2itx}+e^{-2itx}}{4}\right)\exp(-st)dt\\ &=\frac{1}{4}\int_0^\infty\left(2\exp(-st)-\exp[(2ix-s)t]-\exp[-(2ix+s)t]\right)dt\\ &=\frac{1}{4}\left[-\frac{2\exp(-st)}{s}-\frac{\exp[(2ix-s)t]}{2ix-s}+\frac{\exp[-(2ix+s)t]}{2ix+s}\right]_0^\infty\\ &=0-\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{s}-\frac{1}{2ix-s}+\frac{1}{2ix+s}\right)\quad\because\mathrm{Re}(s)\gt 0\\ &=\frac{1}{2s}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2ix-s}-\frac{1}{2ix+s}\right)\\ &=\frac{1}{2s}-\frac{1}{2}\frac{s}{4x^2+s^2}\\ &=\frac{2x^2}{s(4x^2+s^2)} \end{aligned}

となる.よって

\begin{aligned} G(s)&=\int_0^\infty\frac{2x^2}{s(4x^2+s^2)}\frac{1}{x^2}dx\\ &=\int_0^\infty\frac{2}{s(4x^2+s^2)}dx\\ &=\frac{1}{2s}\int_0^\infty\frac{dx}{x^2+\left(\frac{s}{2}\right)^2} \end{aligned}

である.x=\frac{s}{2}\tan\thetaとおくと

\begin{aligned} G(s)&=\frac{1}{2s}\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\left(\frac{s}{2}\right)^2\left(1+\tan^2\theta\right)}\frac{s}{2}\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\\ &=\frac{1}{2s\frac{s}{2}}\int_0^\frac{\pi}{2}d\theta\\ &=\frac{1}{s^2}\frac{\pi}{2} \end{aligned}
\therefore G(s)=\frac{\pi}{2s^2}\tag{答}

である.

解説

問Iは,積分形で表された関数g(t)のラプラス変換を求め,その結果を利用してsinc関数\left(=\frac{\sin(x)}{x}\right)の二乗の広義積分を求める問題です.
与えられた定義式に従ってラプラス変換を求めます.すると,二重積分を計算することになるので,累次積分の順序を交換することにより積分できます.三角関数と指数関数の積の積分は,オイラーの式より三角関数を指数関数に変換すると部分積分よりも簡単に積分できます.