Chapter 02無料公開

I. 解答

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.02.11に更新

\theta0から\piまで変化するとき,\mathbf{P}(\theta)で表される曲線の弧長L

\begin{aligned} L&=\int_0^\pi\left|\mathbf{P}^\prime(\theta)\right|d\theta\\ &=\int_0^\pi\sqrt{\left[x^\prime(\theta)\right]^2+\left[y^\prime(\theta)\right]^2}d\theta \end{aligned}

である.ここで

\begin{aligned} x^\prime(\theta)&=-\frac{3}{2}\sin(\theta)+\frac{3}{2}\sin(3\theta),\\ y^\prime(\theta)&=\frac{3}{2}\cos(\theta)-\frac{3}{2}\cos(3\theta) \end{aligned}

より,

\begin{aligned} \left|\mathbf{P}^\prime(\theta)\right|^2&=\left[x^\prime(\theta)\right]^2+\left[y^\prime(\theta)\right]^2\\ &=\left[-\frac{3}{2}\sin(\theta)+\frac{3}{2}\sin(3\theta)\right]^2+\left[\frac{3}{2}\cos(\theta)-\frac{3}{2}\cos(3\theta)\right]^2\\ &=\frac{9}{4}\left\{\left[\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\right]+\left[\sin^2(3\theta)+\cos^2(3\theta)\right]-2\left[\cos(3\theta)\cos(\theta)+\sin(3\theta)\sin(\theta)\right]\right\}\\ &=\frac{9}{4}\left[1+1-2\cos(3\theta-\theta)\right]\\ &=\frac{9}{2}\left[1-\cos(2\theta)\right]\\ &=9\sin^2(\theta)\\ \left|\mathbf{P}^\prime(\theta)\right|&=3\left|\sin(\theta)\right|\\ &=3\sin(\theta) \end{aligned}

である.よって

\begin{aligned} L&=\int_0^\pi 3\sin(\theta)d\theta\\ &=3\left[-\cos(\theta)\right]_0^\pi\\ &=3[1-(-1)] \end{aligned}
\therefore L=6\tag{答}

である.