解答
1.
n=3のとき
\begin{aligned}
f_n(z)&=f_3(z)\\
&=\frac{1}{z^3-1}
\end{aligned}
である．この関数の特異点は
\begin{aligned}
z^3-1&=0\\
(z-1)(z^2+z+1)&=0
\end{aligned}
\therefore z=1,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\tag{答}
である．
2.
f_n(z)の特異点は1のn乗根であり，
\begin{aligned}
z^n-1&=(z-1)(z-e^{2\pi\frac{1}{n}i})\cdots(z-e^{2\pi\frac{n-1}{n}i})\\
&=(z-1)\prod_{j=1}^{n-1}(z-e^{2\pi\frac{j}{n}i})\tag{I-1}\\
&=\prod_{j=0}^{n-1}(z-e^{2\pi\frac{j}{n}i})
\end{aligned}
と因数分解できるので，特異点p_0は1位の極であり，
p_0=e^{2\pi\frac{k}{n}i}\quad(k=0,\dots,n-1)
とおける．すると，特異点p_0における留数は
\begin{aligned}
\mathrm{Res}f_n(p_0)&=\lim_{z\to p_0}\frac{z-p_0}{z^n-1}\\
&=\lim_{z\to p_0}\frac{z-e^{2\pi\frac{k}{n}i}}{\prod_{j=0}^{n-1}(z-e^{2\pi\frac{j}{n}i})}\\
&=\lim_{z\to p_0}\frac{1}{\prod_{j=0}^{k-1}(z-e^{2\pi\frac{j}{n}i})\prod_{j=k+1}^{n-1}(z-e^{2\pi\frac{j}{n}i})}\\
&=\frac{1}{\prod_{j=0}^{k-1}(p_0-e^{2\pi\frac{j}{n}i})\prod_{j=k+1}^{n-1}(p_0-e^{2\pi\frac{j}{n}i})}\\
&=\frac{1}{p_0^kp_0^{n-k-1}\prod_{j=0}^{k-1}(1-e^{2\pi\frac{j-k}{n}i})\prod_{j=k+1}^{n-1}(1-e^{2\pi\frac{j-k}{n}i})}\\
&=\frac{1}{p_0^{n-1}\prod_{l=-k}^{-1}(1-e^{2\pi\frac{l}{n}i})\prod_{l=1}^{n-k-1}(1-e^{2\pi\frac{l}{n}i})}\\
&=\frac{1}{p_0^{n-1}\prod_{l=n-k}^{n-1}(1-e^{2\pi\frac{l}{n}i})\prod_{l=1}^{n-k-1}(1-e^{2\pi\frac{l}{n}i})}\\
&=\frac{1}{p_0^{n-1}\prod_{l=1}^{n-1}(1-e^{2\pi\frac{l}{n}i})}
\end{aligned}
となる．ここで
z^n-1=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\dots+z+1)
であるので，式(I-1)と比較すると
\prod_{j=1}^{n-1}(z-e^{2\pi\frac{j}{n}i})=z^{n-1}+z^{n-2}+\dots+z+1
である．z=1を代入すると
\begin{aligned}
\prod_{l=1}^{n-1}(1-e^{2\pi\frac{l}{n}i})&=1^{n-1}+1^{n-2}+\dots+1+1\\
&=n
\end{aligned}
である．よって，求める留数は
\mathrm{Res}f_n(p_0)=\frac{1}{np_0^{n-1}}\tag{答}
である．
別解
特異点p_0は1位の極であるから，ロピタルの定理より，求める留数は
\begin{aligned}
\mathrm{Res}f_n(p_0)&=\lim_{z\to p_0}\frac{z-p_0}{z^n-1}\\
&=\lim_{z\to p_0}\frac{(z-p_0)'}{(z^n-1)'}\\
&=\lim_{z\to p_0}\frac{1}{nz^{n-1}}
\end{aligned}
\therefore\mathrm{Res}f_n(p_0)=\frac{1}{np_0^{n-1}}\tag{答}
である．
3.
f_n(z)の特異点p_0はすべて|z|=1上にあるので，積分路Cの内部にある特異点はp_0すべてである．よって，求める線積分は留数定理より
\begin{aligned}
\oint_C f_n(z)dz&=2\pi i\sum_{k=0}^{n-1}\mathrm{Res}f_n\left(e^{2\pi\frac{k}{n}i}\right)\\
&=2\pi i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n\left(e^{2\pi\frac{k}{n}i}\right)^{n-1}}\\
&=\frac{2\pi i}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{-2\pi\frac{n-1}{n}i}\right)^k\\
&=\frac{2\pi i}{n}\frac{1-e^{-2\pi(n-1)i}}{1-e^{-2\pi\frac{n-1}{n}i}}\\
&=\frac{2\pi i}{n}\frac{1-1}{1-e^{-2\pi\frac{n-1}{n}i}}
\end{aligned}
\therefore\oint_C f_n(z)dz=0\tag{答}
である．
解説
1のn乗根に特異点のある関数f_n(z)=1/(z^n-1)に関する問題です．
任意の特異点における留数（問I.2）は，複素解析におけるロピタルの定理を用いると簡単に求めることができます．
問I.3の線積分は留数定理を用いて求めます．留数の和は等比数列の和として求めます．
