Chapter 02無料公開

I. 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.02.07に更新
このチャプターの目次

解答

1.

y=(\cos x)^mとすると

\begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=-m(\cos x)^{m-1}\sin x,\\ \frac{d^2y}{dx^2}&=m(m-1)(\cos x)^{m-2}\sin^2x-m(\cos x)^m \end{aligned}

となるので,式(1)より

\begin{aligned} &\quad\cos x\frac{d^2y}{dx^2}-\sin x\frac{dy}{dx}-\frac{y}{\cos x}\\ &=\cos x\left[m(m-1)(\cos x)^{m-2}\sin^2x-m(\cos x)^m\right]-\sin x\left[-m(\cos x)^{m-1}\sin x\right]-\frac{(\cos x)^m}{\cos x}\\ &=-m(\cos x)^{m+1}+m^2\sin^2x(\cos x)^{m-1}-(\cos x)^{m-1}\\ &=-m(\cos x)^{m+1}+m^2(1-\cos^2x)(\cos x)^{m-1}-(\cos x)^{m-1}\\ &=(m^2-1)(\cos x)^{m-1}-m(m+1)(\cos x)^{m+1}\\ &=(m-1)(m+1)(\cos x)^{m-1}-m(m+1)(\cos x)^{m+1}\\ &=(m+1)(\cos x)^{m-1}\left[(m-1)-m\cos^2x\right]=0 \end{aligned}

となる.これがxによらず成り立つのは

m+1=0
\therefore m=-1\tag{答}

である.

2.

問I.1の結果より,式(1)の特殊解は

y=(\cos x)^{-1}=\frac{1}{\cos x}

である.そこで,xを変数とする関数u(x)を用いて

y=\frac{u(x)}{\cos x}

とすると,

\begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=\frac{u^\prime\cos x+u\sin x}{\cos^2x},\\ \frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{\left[(u^{\prime\prime}\cos x-u^\prime\sin x)+(u^\prime\sin x+u\cos x)\right]\cos^2x+(u^\prime\cos x+u\sin x)\cdot 2\cos x\sin x}{\cos^4x}\\ &=\frac{(u^{\prime\prime}+u)\cos^2x+2(u^\prime\cos x+u\sin x)\sin x}{\cos^3x} \end{aligned}

となるので,式(1)より

\begin{aligned} &\quad\cos x\frac{d^2y}{dx^2}-\sin x\frac{dy}{dx}-\frac{y}{\cos x}\\ &=\cos x\frac{(u^{\prime\prime}+u)\cos^2x+2(u^\prime\cos x+u\sin x)\sin x}{\cos^3x}-\sin x\frac{u^\prime\cos x+u\sin x}{\cos^2x}-\frac{u}{\cos^2x}\\ &=\frac{u^{\prime\prime}\cos^2x+u^\prime\cos x\sin x+u(\cos^2x+\sin^2x-1)}{\cos^2x}\\ &=\frac{u^{\prime\prime}\cos x+u^\prime\sin x}{\cos x}=0 \end{aligned}

となる.よって

\begin{aligned} u^{\prime\prime}\cos x+u^\prime\sin x&=0\\ u^{\prime\prime}&=-u^\prime\tan x\\ u^\prime&=C_1\cos x\quad(\because\text{変数分離形})\\ u&=C_1\sin x+C_2 \end{aligned}

となる.ただし,C_1,C_2は任意定数である.ゆえに

\begin{aligned} y&=\frac{u(x)}{\cos x}\\ &=\frac{C_1\sin x+C_2}{\cos x}\\ &=C_1\tan x+\frac{C_2}{\cos x} \end{aligned}

は解である.\tan x\frac{1}{\cos x}のロンスキアンWを計算すると

\begin{aligned} W&=\begin{vmatrix}\tan x & \frac{1}{\cos x}\\ (\tan x)^\prime & \left(\frac{1}{\cos x}\right)^\prime\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}\tan x & \frac{1}{\cos x}\\ \frac{1}{\cos^2x} & \frac{\sin x}{\cos^2x}\end{vmatrix}\\ &=\tan x\frac{\sin x}{\cos^2x}-\frac{1}{\cos x}\frac{1}{\cos^2x}\\ &=\frac{\sin^2x-1}{\cos^3x}\\ &=-\frac{1}{\cos x}\ne 0 \end{aligned}

となるから,\tan x\frac{1}{\cos x}は線形独立である.したがって,式(1)の一般解は

y=C_1\tan x+\frac{C_2}{\cos x}\tag{答}

である.

(前問の結果を用いない)別解

式(1)より

\cos x\frac{d^2y}{dx^2}=\sin x\frac{dy}{dx}+\frac{y}{\cos x}

である.両辺を\cos xで割ると

\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2}&=\tan x\frac{dy}{dx}+\frac{y}{\cos^2 x}\\ &=\frac{d}{dx}(y\tan x)\\ \frac{dy}{dx}&=y\tan x+C_1\quad(C_1:\text{任意定数})\\ \frac{dy}{dx}-y\tan x&=C_1 \end{aligned}

となる.両辺に\cos x\left(=\exp\int \tan x\,dx\right)を掛けると

\begin{aligned} \cos x\frac{dy}{dx}-y\sin x&=C_1\cos x\\ \frac{d}{dx}(y\cos x)&=C_1\cos x\\ y\cos x&=C_1\sin x+C_2\quad(C_2:\text{任意定数}) \end{aligned}
\therefore y=C_1\tan x+\frac{C_2}{\cos x}\tag{答}

となる.

解説

変数係数2階線形斉次常微分方程式です.
問I.1では基本解の一つを求めるための誘導がされています.y=\cos^mxではなくy=(\cos x)^mと書かれているのは,答であるm=-1のときにy=\cos^{-1}xと書かれると逆余弦関数(\arccos x)と紛らわしいからでしょう.
問I.2では,問I.1の結果を用いてもう一つの基本解を求めます.

https://physnotes.jp/diffeq/2nd-lde/#変数係数2階線形同次微分方程式
このようにして求めた2つの解の線形結合が式(1)の解の全体を表せているのか,つまり2つの解は線形独立であるのかを確認するため,ロンスキアンが0ではないことを調べます.
実は,この微分方程式は特殊解がわからなくても別解のように1階線形非斉次微分方程式に帰着させて解くことができます.しかし,問題文には問I.1の結果を用いよという指示があるので,別解では満点をもらえないでしょう.