解答

f(x,y,z)=x^2+2y^2-z^2とおく．勾配ベクトルは法線ベクトルの一つであるから，勾配ベクトルを求めると

\begin{aligned} \mathrm{grad}f&=\nabla f\\ &=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial f}{\partial z}\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2x\\ 4y\\ -2z \end{pmatrix} \end{aligned}

となる．よって，点A(2,0,2)における勾配ベクトルは

\begin{pmatrix}2\times 2\\4\times 0\\-2\times 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}

となる．ゆえに，求める法線の方程式は

\frac{x-2}{4}=\frac{z-2}{-4},y=0

\therefore x+z=4,y=0\tag{答}

である．接平面Tの方程式は

4(x-2)-4(z-2)=0

\therefore x=z\tag{答}

である．

解説

曲面S_1と点Aにおける単位法線ベクトル\vec{n}を図示すると下図のようになります．