Chapter 02無料公開

I. 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.01.24に更新
このチャプターの目次

解答

1.

単位行列を\boldsymbol{I}とする.固有方程式は

\begin{aligned} \det (\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P})&=\begin{vmatrix} \lambda&0&-\frac{3}{2}\\ -2&\lambda&0\\ 0&-\frac{1}{3}&\lambda \end{vmatrix}\\ &=\lambda^3-1\\ &=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1)=0 \end{aligned}

となるので,固有値\lambda

\lambda=1,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}

である.ここで,\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}とおくと

\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}~(=\overline{\omega})

であるから,

\lambda=1,\omega,\omega^2

である.これらの固有値に対応する長さ1の固有ベクトルをそれぞれ\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3とする.
まず\boldsymbol{v}_1を求める.

\begin{aligned} \boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}&=\begin{pmatrix} 1&0&-\frac{3}{2}\\ -2&1&0\\ 0&-\frac{1}{3}&1 \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix} 2&0&-3\\ 0&1&-3\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\left\{ \begin{aligned} 2x-3z&=0\\ y-3z&=0 \end{aligned} \right.\\ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\frac{z}{2}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix} \end{aligned}

よって,

\boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt{3^2+6^2+2^2}}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix}

である.
次に\boldsymbol{v}_2を求める.

\begin{aligned} \omega\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}&=\begin{pmatrix} \omega&0&-\frac{3}{2}\\ -2&\omega&0\\ 0&-\frac{1}{3}&\omega \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix} 2&0&-3\omega^2\\ 0&1&-3\omega\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\left\{ \begin{aligned} 2x-3\omega^2z&=0\\ y-3\omega z&=0 \end{aligned} \right.\\ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\frac{z}{2}\begin{pmatrix}3\omega^2\\6\omega\\2\end{pmatrix} \end{aligned}

よって,

\begin{aligned} \boldsymbol{v}_2&=\frac{1}{\sqrt{3\omega^2\cdot\overline{3\omega^2}+6\omega\cdot\overline{6\omega}+2^2}}\begin{pmatrix}3\omega^2\\6\omega\\2\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\omega^2\\6\omega\\2\end{pmatrix} \end{aligned}

である.
最後に\boldsymbol{v}_3を求める.

\begin{aligned} \omega^2\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}&=\begin{pmatrix} \omega^2&0&-\frac{3}{2}\\ -2&\omega^2&0\\ 0&-\frac{1}{3}&\omega^2 \end{pmatrix}\\ &\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix} 2&0&-3\omega\\ 0&\omega&-3\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\\ &\left\{ \begin{aligned} 2x-3\omega z&=0\\ \omega y-3z&=0 \end{aligned} \right.\\ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\frac{z}{2}\begin{pmatrix}3\omega\\6\omega^2\\2\end{pmatrix} \end{aligned}

よって,

\begin{aligned} \boldsymbol{v}_3&=\frac{1}{\sqrt{3\omega\cdot\overline{3\omega}+6\omega^2\cdot\overline{6\omega^2}+2^2}}\begin{pmatrix}3\omega\\6\omega^2\\2\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\omega\\6\omega^2\\2\end{pmatrix} \end{aligned}

である.
ゆえに,求めるすべての固有値は

1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\tag{答}

であり,対応する長さ1の固有ベクトルはそれぞれ

\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix},\frac{1}{7}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\left(-1-\sqrt{3}i\right)\\3\left(-1+\sqrt{3}i\right)\\2\end{pmatrix},\frac{1}{7}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\left(-1+\sqrt{3}i\right)\\3\left(-1-\sqrt{3}i\right)\\2\end{pmatrix}\tag{答}

である.

2.

\begin{aligned} \boldsymbol{P}^2&=\begin{pmatrix} 0&0&\frac{3}{2}\\ 2&0&0\\ 0&\frac{1}{3}&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&0&\frac{3}{2}\\ 2&0&0\\ 0&\frac{1}{3}&0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&0\\ 0&0&3\\ \frac{2}{3}&0&0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\begin{aligned} \boldsymbol{P}^3&=\boldsymbol{P}^2\boldsymbol{P}\\ &=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&0\\ 0&0&3\\ \frac{2}{3}&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&0&\frac{3}{2}\\ 2&0&0\\ 0&\frac{1}{3}&0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \end{aligned}

解説

問1は固有値と固有ベクトルを求める典型問題です.1の3乗根が固有値になるので,解答のように\omegaとおくと見通しがよいでしょう.
問2は,問1の結果を用いて\boldsymbol{P}の対角化により\boldsymbol{P}^nを求めることもできますが,2乗や3乗では直接求める方が早いでしょう.\boldsymbol{P}^3=\boldsymbol{I}という結果は以降の問いで鍵となります.