解答
1.
単位行列を\boldsymbol{I}とする．固有方程式は
\begin{aligned}
\det (\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P})&=\begin{vmatrix}
\lambda&0&-\frac{3}{2}\\
-2&\lambda&0\\
0&-\frac{1}{3}&\lambda
\end{vmatrix}\\
&=\lambda^3-1\\
&=(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1)=0
\end{aligned}
となるので，固有値\lambdaは
\lambda=1,\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}
である．ここで，\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}とおくと
\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}~(=\overline{\omega})
であるから，
\lambda=1,\omega,\omega^2
である．これらの固有値に対応する長さ1の固有ベクトルをそれぞれ\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3とする．
まず\boldsymbol{v}_1を求める．
\begin{aligned}
\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}&=\begin{pmatrix}
1&0&-\frac{3}{2}\\
-2&1&0\\
0&-\frac{1}{3}&1
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix}
2&0&-3\\
0&1&-3\\
0&0&0
\end{pmatrix}\\
&\left\{
\begin{aligned}
2x-3z&=0\\
y-3z&=0
\end{aligned}
\right.\\
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\frac{z}{2}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
よって，
\boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt{3^2+6^2+2^2}}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix}
である．
次に\boldsymbol{v}_2を求める．
\begin{aligned}
\omega\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}&=\begin{pmatrix}
\omega&0&-\frac{3}{2}\\
-2&\omega&0\\
0&-\frac{1}{3}&\omega
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix}
2&0&-3\omega^2\\
0&1&-3\omega\\
0&0&0
\end{pmatrix}\\
&\left\{
\begin{aligned}
2x-3\omega^2z&=0\\
y-3\omega z&=0
\end{aligned}
\right.\\
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\frac{z}{2}\begin{pmatrix}3\omega^2\\6\omega\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
よって，
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_2&=\frac{1}{\sqrt{3\omega^2\cdot\overline{3\omega^2}+6\omega\cdot\overline{6\omega}+2^2}}\begin{pmatrix}3\omega^2\\6\omega\\2\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\omega^2\\6\omega\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
である．
最後に\boldsymbol{v}_3を求める．
\begin{aligned}
\omega^2\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}&=\begin{pmatrix}
\omega^2&0&-\frac{3}{2}\\
-2&\omega^2&0\\
0&-\frac{1}{3}&\omega^2
\end{pmatrix}\\
&\xrightarrow{\text{基本変形}}\begin{pmatrix}
2&0&-3\omega\\
0&\omega&-3\\
0&0&0
\end{pmatrix}\\
&\left\{
\begin{aligned}
2x-3\omega z&=0\\
\omega y-3z&=0
\end{aligned}
\right.\\
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&=\frac{z}{2}\begin{pmatrix}3\omega\\6\omega^2\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
よって，
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_3&=\frac{1}{\sqrt{3\omega\cdot\overline{3\omega}+6\omega^2\cdot\overline{6\omega^2}+2^2}}\begin{pmatrix}3\omega\\6\omega^2\\2\end{pmatrix}\\
&=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\omega\\6\omega^2\\2\end{pmatrix}
\end{aligned}
である．
ゆえに，求めるすべての固有値は
1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\tag{答}
であり，対応する長さ1の固有ベクトルはそれぞれ
\frac{1}{7}\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix},\frac{1}{7}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\left(-1-\sqrt{3}i\right)\\3\left(-1+\sqrt{3}i\right)\\2\end{pmatrix},\frac{1}{7}\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\left(-1+\sqrt{3}i\right)\\3\left(-1-\sqrt{3}i\right)\\2\end{pmatrix}\tag{答}
である．
2.
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}^2&=\begin{pmatrix}
0&0&\frac{3}{2}\\
2&0&0\\
0&\frac{1}{3}&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&0&\frac{3}{2}\\
2&0&0\\
0&\frac{1}{3}&0
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
0&\frac{1}{2}&0\\
0&0&3\\
\frac{2}{3}&0&0
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\begin{aligned}
\boldsymbol{P}^3&=\boldsymbol{P}^2\boldsymbol{P}\\
&=\begin{pmatrix}
0&\frac{1}{2}&0\\
0&0&3\\
\frac{2}{3}&0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0&0&\frac{3}{2}\\
2&0&0\\
0&\frac{1}{3}&0
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
解説
問1は固有値と固有ベクトルを求める典型問題です．1の3乗根が固有値になるので，解答のように\omegaとおくと見通しがよいでしょう．
問2は，問1の結果を用いて\boldsymbol{P}の対角化により\boldsymbol{P}^nを求めることもできますが，2乗や3乗では直接求める方が早いでしょう．\boldsymbol{P}^3=\boldsymbol{I}という結果は以降の問いで鍵となります．
