Chapter 02無料公開

I.1 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.02.13に更新
このチャプターの目次

解答

f(z)=\frac{z}{(z+i)(z-i)(z-1-ia)}

であるから,f(z)の極は

z=\pm i,1+ia\tag{答}

である.これらはすべて1位の極であるので,留数はそれぞれ

\begin{aligned} \mathrm{Res}f(i)&=\lim_{z\to i}(z-i)f(z)\\ &=\frac{i}{2i[(1-a)i-1]}\\ &=-\frac{1+i(1-a)}{2(a^2-2a+2)}\tag{答} \end{aligned}
\begin{aligned} \mathrm{Res}f(-i)&=\lim_{z\to -i}(z+i)f(z)\\ &=\frac{-i}{-2i[(-1-a)i-1]}\\ &=-\frac{1-i(1+a)}{2(a^2+2a+2)}\tag{答} \end{aligned}
\begin{aligned} \mathrm{Res}f(1+ia)&=\lim_{z\to 1+ia}(z-1-ia)f(z)\\ &=\frac{1+ia}{[1+(1+a)i][1-(1-a)i]}\\ &=\frac{2+a^2-ia^3}{a^4+4}\tag{答} \end{aligned}

である.

解説

留数定理を用いて実軸上の定積分を求める典型問題です.

解答では分母の実数化を行いましたが,しなくても構いません.