解答
f(z)=\frac{z}{(z+i)(z-i)(z-1-ia)}
であるから，f(z)の極は
である．これらはすべて1位の極であるので，留数はそれぞれ
\begin{aligned}
\mathrm{Res}f(i)&=\lim_{z\to i}(z-i)f(z)\\
&=\frac{i}{2i[(1-a)i-1]}\\
&=-\frac{1+i(1-a)}{2(a^2-2a+2)}\tag{答}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\mathrm{Res}f(-i)&=\lim_{z\to -i}(z+i)f(z)\\
&=\frac{-i}{-2i[(-1-a)i-1]}\\
&=-\frac{1-i(1+a)}{2(a^2+2a+2)}\tag{答}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\mathrm{Res}f(1+ia)&=\lim_{z\to 1+ia}(z-1-ia)f(z)\\
&=\frac{1+ia}{[1+(1+a)i][1-(1-a)i]}\\
&=\frac{2+a^2-ia^3}{a^4+4}\tag{答}
\end{aligned}
である．
解説
留数定理を用いて実軸上の定積分を求める典型問題です．
解答では分母の実数化を行いましたが，しなくても構いません．
