Chapter 02無料公開

I. 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.02.13に更新
このチャプターの目次

解答

1.

\lambdaが正則行列\boldsymbol{P}の固有値であるとき,ゼロベクトルでないベクトル\boldsymbol{v}が存在して

\boldsymbol{Pv}=\lambda\boldsymbol{v}\tag{I-1}

を満たす.\lambdaは0ではないことを背理法で示す.\lambda=0と仮定すると

\begin{aligned} \boldsymbol{Pv}&=0\boldsymbol{v}\\ &=\boldsymbol{0} \end{aligned}

となる.\boldsymbol{P}は正則であるから逆行列\boldsymbol{P}^{-1}が存在し,

\begin{aligned} \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{Pv}&=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{0}\\ \therefore \boldsymbol{v}&=\boldsymbol{0} \end{aligned}

となる.これは\boldsymbol{v}がゼロベクトルでないことに矛盾する.よって,\lambdaは0ではない.∎

2.

式(I-1)の両辺に左から\boldsymbol{P}^{-1}をかけると

\begin{aligned} \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{Pv}&=\lambda\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{v}\\ \therefore \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{v}&=\lambda^{-1}\boldsymbol{v} \end{aligned}

となる.よって,\lambda^{-1}\boldsymbol{P}^{-1}の固有値である.
次に,正の整数nに対して\lambda^n\boldsymbol{P}^nの固有値であることを数学的帰納法により示す.
[1] n=1のとき
問Iの仮定である式(I-1)より\lambda\boldsymbol{P}の固有値である.
[2] \lambda^n\boldsymbol{P}^nの固有値であると仮定する.すなわち

\boldsymbol{P}^n\boldsymbol{v}=\lambda^n\boldsymbol{v}

と仮定する.この式と式(I-1)より

\begin{aligned} \boldsymbol{P}^{n+1}\boldsymbol{v}&=\boldsymbol{P}(\boldsymbol{P}^n\boldsymbol{v})\\ &=\boldsymbol{P}(\lambda^n\boldsymbol{v})\\ &=\lambda^n(\boldsymbol{Pv})\\ &=\lambda^n(\lambda\boldsymbol{v})\\ &=\lambda^{n+1}\boldsymbol{v} \end{aligned}

となり,\lambda^{n+1}\boldsymbol{P}^{n+1}の固有値となる.
[1],[2]より\lambda^n\boldsymbol{P}^nの固有値である.∎

解説

固有値の定義式(I-1)を使えば示せる証明問題です.
問I.1は,行列式は固有値の積であることを用いると,「\boldsymbol{P}は正則」\iff\det\boldsymbol{P}\ne 0\iff\lambda\ne 0」としても示せます.ちなみに,正則行列でなければ固有値が0になり得ます.