Chapter 02無料公開

I. 解答・解説

後生楽 広小路
後生楽 広小路
2021.02.15に更新
このチャプターの目次

解答

t=x-3とおくと

\begin{aligned} I&=\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{(1+t)(1-t)}}\\ &=\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\\ &=2\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \end{aligned}

となる.t=\cos\thetaとおくと

\begin{aligned} I&=2\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{-\sin\theta}{\sqrt{1-\cos^2\theta}}d\theta\\ &=2\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin\theta}{|\sin\theta|}d\theta\\ &=2\int_0^\frac{\pi}{2}d\theta\\ &=2\cdot\frac{\pi}{2} \end{aligned}
\therefore I=\pi\tag{答}

である.

解説

広義積分を求める問題です.
t=\cos\thetaとおかなくても

(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

から積分できると早いです.