解答
t=x-3とおくと
\begin{aligned}
I&=\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{(1+t)(1-t)}}\\
&=\int_{-1}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\\
&=2\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}
\end{aligned}
となる．t=\cos\thetaとおくと
\begin{aligned}
I&=2\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{-\sin\theta}{\sqrt{1-\cos^2\theta}}d\theta\\
&=2\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin\theta}{|\sin\theta|}d\theta\\
&=2\int_0^\frac{\pi}{2}d\theta\\
&=2\cdot\frac{\pi}{2}
\end{aligned}
である．
解説
広義積分を求める問題です．
t=\cos\thetaとおかなくても
(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
から積分できると早いです．
