付録A マクローリン展開
関数f(x)が無限回微分可能であるとき、関数列\{1, x, x^2, x^3, ...\}を使って級数展開すると
\tag{A.1}
f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
が得られる。この級数によって、xが十分に小さいときにf(x)の近似式を得ることができる。式(A.1)をマクローリン展開という。
付録B 関数の内積と直交性
区間[a, b]で定義される関数f(x)、g(x)について、関数の内積を
\tag{B.1}
<f(x), g(x)> = \int_a^b f(x)g(x) dx
と定義する。このとき、自分自身以外との内積が0になる性質を直交性という。三角関数は積和の公式より直交性を有しているため、
\tag{B.2}
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^{\pi}(\sin nx \cdot \sin mx) dx &= \begin{cases} 0&(n \neq m)\\ \pi&(n = m) \end{cases} \\
\int_{-\pi}^{\pi}(\cos nx \cdot \cos mx) dx &= \begin{cases} 0&(n \neq m)\\ \pi&(n = m) \end{cases} \\
\int_{-\pi}^{\pi}(\cos nx \cdot \sin mx) dx &= 0
\end{aligned}
が成り立つ。
付録C 区分的に滑らか
区間[a, b]上の関数f(x)が次の条件を満たすとき、f(x)は区間[a, b]において区分的に連続であるという。
-
[a, b]に属する有限個の点を除いてf(x)は連続である
- 各不連続点において左側極限\displaystyle\lim_{a \to x-0}f(a)と右側極限\displaystyle\lim_{a \to x-+0}f(a)は有限な値が存在する
さらに、導関数f'(x)が区分的に連続であるとき、f(x)を区分的に滑らかであるという。
付録D 絶対可積分
関数f(x)の絶対値|f(x)|の-\inftyから\inftyまでの積分が有限となること、つまり
\tag{D.1}
\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)| dx < \infty
を満たすとき、f(x)は絶対可積分であるという。
付録E デルタ関数（単位インパルス関数）
ある区間[-r, r]の間だけ高さを持つ矩形関数
\tag{E.1}
\delta_r(t) = \begin{cases} \frac{1}{2r} &(t \in [-r, r]) \\ 0 &(t \in (-\infty, -r) \cup (r, \infty)) \end{cases}
が与えられたとき、r \to 0で得られる極限関数（極限を用いて定義される関数）を\delta(t)とする。
式(E.1)における\delta(t)を（ディラックの）デルタ関数、もしくは単位インパルス関数と定義する。この時、\delta(t)は積分を行なうと常に1となる関数、つまり面積が常に一定な関数と定める。ここで、デルタ関数の定義式を式(E.2), (E.3)に示す。
\tag{E.2}
\delta(t) \coloneqq \lim_{r \to 0}\delta_r(t) = \begin{cases} \infty &(t = 0) \\ 0 &(t \neq 0) \end{cases}
\tag{E.3}
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = \int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(t)dt = 1 \quad (\varepsilon \in \mathbb{R})
デルタ関数の定義において式(E.2)と式(E.3)は矛盾した関係である。\delta(t)はt = 0のとき\inftyを取るが、値として\inftyを取るのではなく、t = 0のときにのみ値を取ることを表現しているにすぎない。そのため、式(E.2)を用いずにデルタ関数を定義する理論も存在する。
デルタ関数は関数のように扱えるが、通常の関数では許されない特徴を持っており、このような関数を超関数という。ここで、ある区間において値を取る関数を考え、この関数をデルタ関数との積の形にすることで、近似関数を考えることができる。これにより、不連続な関数についても、近似的に微積分を考えることができる。
デルタ関数の関数としての基本的な性質として、次の3つが成り立つ。
\tag{E.4}
(I) \quad f(0) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt
証明）
\delta(t)はt \neq 0のとき0を取るので、積分区間(-\infty, \infty)の積分において関数f(t)が積分の結果に寄与するのはt = 0のときのみである。よって、
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt &= \int_{-\infty}^{\infty}f(0)\delta(t)dt \\
&= f(0)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt \\
&= f(0)
\end{aligned}
（証明終了）
\tag{E.5}
(I\hspace{-.1em}I) \quad f(a) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t - a)dt
証明）
式(I)の右辺より、x = t - aとするとt = x + aとなるので、
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t - a)dt &= \int_{-\infty}^{\infty}f(x + a)\delta(x)dx
\\ &= f(a)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx
\\ &= f(a)
\end{aligned}
（証明終了）
\tag{E.6}
\begin{aligned}
(I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I) \quad f(t) &= \begin{cases} f[n] & (n \in \mathbb{Z}, t = n) \\ 0 & (otherwise) \end{cases} におけるf(t)とf[n]の関係は、 \\
f(t) &= \sum_{n = -\infty}^{\infty}f[n]\delta(t - n)
\end{aligned}
証明）
不連続な関数f[n] (n \in \mathbb{Z})についてある区間を考え、この区間においてf[n]はn_1, n_2, \dots, n_NでN個の値を取るものとする。このとき、連続な関数f(t)を次のように考えることができる。
\begin{aligned} f(t) &= f[n_1]\delta(t - n_1) + f[n_2]\delta(t - n_2) + \cdots + f[n_N]\delta(t - n_N) \\ &= \sum_{n \in \{n_1, n_2, \dots, n_N\}}f[n]\delta(t - n) \end{aligned}
ここで、右辺についてt = nのとき\delta(t - n)が値を持つため値f[n]を取り、t \neq nのとき\delta(t - n)が0を取るため値0を取る。よって、f[n]が整数全体で値を取るものとすると、
f(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}f[n]\delta(t - n)
が成り立つ（証明終了）。
