連続一様分布とは、ある区間 a から b までの全ての実数値が等しい確率密度である分布。
つまり、a から b までの全ての実数値は同じ確率で出現する。
連続一様分布 X \sim \text{Uniform}(a, b) の確率密度関数は次のようになる。
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{b - a} & \text{if } a \leq x \leq b \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
また、期待値 E[X] と分散 V[X] の公式は次のようになる。
\begin{aligned}
E[X] &= \frac{b+a}{2}\\
V[X] &= \frac{(b-a)^2}{12}
\end{aligned}
ちなみに、グラフはどうなっているかと言うと、例えば X \sim \text{Uniform}(-1, 1) を作図すると次のようになる。
PDFとは、Probability（確率）Density（密度）Function（関数）の意味。
ここからは期待値 E[X] と分散 V[X] の公式を証明する。
まずは期待値 E[X] について。
\begin{aligned}
E[X] &= \int_a^b x f(x)\,dx \\
&= \int_a^b x \cdot \frac{1}{b - a} \, dx \\
&= \frac{1}{b - a} \int_a^b x \, dx \\
&= \frac{1}{b - a} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_a^b \\
&= \frac{1}{b - a} \cdot \left( \frac{b^2 - a^2}{2} \right) \\
&= \frac{1}{b - a} \cdot \left( \frac{(b-a)(b+a)}{2} \right) \\
&= \frac{b+a}{2}
\end{aligned}
次に分散 V[X] について。
まず、連続型確率分布の分散 V[X] は、E[X] を用いて以下のように表せる。
\begin{aligned}
V[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)\,dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} (x^2-2\mu x+\mu^2) f(x)\,dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)\,dx + -2\mu \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx + \mu^2 \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)\,dx + -2\mu^2 + \mu^2 \\
&= E[X^2] - E[X]
\end{aligned}
E[X] はすでに導出しているので、E[X^2] を求める。
\begin{aligned}
E[X^2] &= \int_a^b x^2 f(x)\, dx \\
&= \int_a^b x^2 \cdot \frac{1}{b - a} \, dx \\
&= \frac{1}{b - a} \int_a^b x^2 \, dx \\
&= \frac{1}{b - a} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b \\
&= \frac{1}{b - a} \cdot \left( \frac{b^3 - a^3}{3} \right) \\
&= \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} \\
&= \frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{3(b - a)} \\
&= \frac{b^2 + ab + a^2}{3}
\\
\end{aligned}
これを使って、
\begin{aligned}
V[X] &= E[X^2] - E[X] \\
&= \frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \\
&= \frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \\
&= \frac{4(b^2 + ab + a^2) - 3(a^2 + 2ab + b^2)}{12} \\
&= \frac{(b^2 - 2ab + a^2)}{12} \\
&= \frac{(b - a)^2}{12}
\end{aligned}
Discussion