物理の力学の問題としては定番の設定です. 大学入試風の問題として作成してみました.
問題文
長さLの軽い棒の両端に質量mの物体Pと質量Mの物体Qが取り付けられている. この物体全体をPが壁に, Qが床に接するように配置した. 壁は床に対して垂直である. 床と棒のなす角度を\theta(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}), 重力加速度をgとする. P, Qの大きさや空気の抵抗と壁や床の摩擦は無視する. この時, 以下の問いに答えよ.
Ⅰ. \theta=\alphaとなるように全体が静止するようにQに水平左向きに手で力を加えるとき, その力の大きさを求めよ.
Ⅱ. Ⅰの状態でQに加えていた手を静かに離した後, PとQがそれぞれ壁と床から離れずに運動を始めた. 床と壁の交点を原点とし, 鉛直上向きを正としてこの間のPの座標をy, 水平右向きを正としてQの座標をxとする.
(1) Pの速さをv, Qの速さをVとして, 力学的エネルギー保存則を用いてv, Vの間に成り立つ関係式を導け.
(2) \Delta tだけ時間が経過したときにPが\Delta y, Qが\Delta x移動したとする. このとき, x, y, \Delta x, \Delta y, \Delta tの間に成り立つ関係式を求めよ. \Delta xと\Delta yの2次以上の項を無視すること.
(3) (1), (2)において, \frac{\Delta y}{\Delta t}=-v, \frac{\Delta x}{\Delta t}=Vとして, v, V, \thetaの間に成り立つ関係式を求めよ.
(4) (1), (3)の結果を用いてv, Vをm, M, \alpha, g, L, \thetaを用いて表せ.
Ⅲ. \theta = \betaでPは壁から離れた. 離れる瞬間のPの速さをv_0, Qの速さをV_0とする.
(1) その後の運動において, 水平右向きを正としたx軸と鉛直上向きを正としたy軸としたときの座標系において, Pの速度のx成分をv_x, y成分をv_y, Qの速度のx成分をV_xとするとき, v_x, v_y, V_x, \thetaの間に成り立つ関係式を求めよ. Ⅱの(2)と同様に\Delta tの間のPの座標の変化量\Delta x, \Delta y, Qの座標の変化量\Delta Xの関係式を考え, その2次以上の項を無視することで導け.
(2) その後Qが床から離れないままPは床と衝突した. その瞬間のQの速さをm, M, V_0を用いて表せ. また, Pの鉛直下向きの速さをm, M, v_0, V_0, g, L, \alpha, \betaの中から必要なものを用いて表せ.
解答は近日作ります.
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