前の記事では二輪車の安定性を表す解析モデルの概要を紹介しましたが、ここでは運動方程式を構成する定数行列と設計諸元との関係を示し、セルフステアがどのように作用しているか解説したいと思います。
設計諸元と中間変数
このモデルに必要となる設計諸元は以下の25個のパラメータです。
| コンポーネント |
パラメータ |
記号 |
| 車両全体 |
ホイールベース |
w |
|
トレール |
c |
|
キャスタ角 \\ (\pi/2 -ヘッド角) |
\lambda |
| 後輪（添え字R） |
半径 |
r_R |
|
質量 |
m_R |
|
慣性モーメント |
(I_{Rxx},\ I_{Ryy}) |
| メインフレームアセンブリ（添え字B） |
重心位置 |
(x_B,\ z_B) |
|
質量 |
m_B |
|
慣性テンソル |
\begin{bmatrix} I_{Bxx} & 0 & I_{Bxz} \\ 0 & I_{Byy} & 0 \\ I_{Bxz} & 0 & I_{Bzz} \end{bmatrix} |
| フロントフォークアセンブリ（添え字H） |
重心位置 |
(x_H,\ z_H) |
|
質量 |
m_H |
|
慣性テンソル |
\begin{bmatrix} I_{Hxx} & 0 & I_{Hxz} \\ 0 & I_{Hyy} & 0 \\ I_{Hxz} & 0 & I_{Hzz} \end{bmatrix} |
| 前輪（添え字F） |
半径 |
r_F |
|
質量 |
m_F |
|
慣性モーメント |
(I_{Fxx},\ I_{Fyy}) |
これらは全てロール角\phi=0, 舵角\delta=0での車両固定座標系上で設定し、慣性モーメント・テンソルは重心まわりで設定します。
運動方程式の見通しをよくするために、設計諸元から以下の中間変数を定義します。（慣性モーメント・慣性乗積は原点まわり）
車両全体（添え字T）の質量、重心位置、慣性モーメント・慣性乗積
※慣性モーメント・慣性乗積は原点まわりで算出
\begin{align*}
m_T &= m_R + m_B + m_H + m_F \\
x_T &= (x_Bm_B + x_Hm_H + wm_F)/m_T \\
z_T &= (-r_Rm_R + z_Bm_B + z_Hm_H - r_Fm_F)/m_T \\
I_{Txx} &= I_{Rxx} + I_{Bxx} + I_{Hxx} + I_{Fxx} + m_Rr_R^2 + m_Hz_H^2 + m_Fr_F^2 \\
I_{Tzz} &= I_{Rxx} + I_{Bzz} + I_{Hzz} + I_{Fxx} + m_Bx_B^2 +m_Hx_H^2 + m_Fw^2 \\
I_{Txz} &= I_{Bxz} + I_{Hxz} - m_Bx_Bz_B - m_Hx_Hz_H + m_Fwr_f \\
\end{align*}
操舵系（添え字A）の質量、重心位置、慣性モーメント・慣性乗積
※慣性モーメント・慣性乗積は重心まわりで算出
\begin{align*}
m_A &= m_H + m_F \\
x_A &= (x_Hm_H + wm_F)/m_A \\
z_A &= (z_Hm_H - r_Fm_F)/m_A \\
I_{Axx} &= I_{Hxx} + I_{Fxx} + m_H(z_H-z_A)^2 + m_F(r_F+z_A)^2 \\
I_{Azz} &= I_{Hzz} + I_{Fxx} + m_H(x_H-x_A)^2 + m_F(w-x_A)^2 \\
I_{Axz} &= I_{Hxz} - m_H(x_H-x_A)(z_H-z_A) + m_F(w-x_A)(r_f+z_A) \\
\end{align*}
操舵系の重心と操舵軸との距離
\begin{align*}
u_A &= (x_A - w - c)\cos\lambda - z_A\sin\lambda
\end{align*}
操舵系の操舵軸まわり慣性モーメントおよび操舵軸とx,z軸に関する慣性乗積
\begin{align*}
I_{A\lambda\lambda} &= m_Au_A^2 + I_{Axx}\sin^2\lambda + 2I_{Axz}\sin\lambda\cos\lambda + I_{Azz}\cos^2\lambda \\
I_{A\lambda x} &= -m_Au_Az_A + I_{Axx}\sin\lambda + I_{Axz}\cos\lambda \\
I_{A\lambda z} &= m_Au_Ax_A + I_{Axz}\sin\lambda + I_{Azz}\cos\lambda \\
\end{align*}
メカニカルトレールとホイールベースの比
※前輪接地点と操舵軸との距離c\cos\lambdaをメカニカルトレールと呼ぶ
前後輪のy軸まわり角運動量と車速との比
\begin{align*}
S_R &= I_{Ryy}/r_R, & S_F &= I_{Fyy}/r_F, & S_T &= S_R + S_F
\end{align*}
頻出する静的モーメント項
S_A = m_Au_A + \mu m_T x_T
以上の変数を用いて定数行列を表します。
定数行列とセルフステアトルク
定数行列\bold{M}, \bold{C_1}, \bold{K_0}, \bold{K_2}は、それぞれ以下のように表されます。
\begin{align*}
\bold{M} &= \begin{bmatrix}
I_{Txx} & I_{A\lambda x} + \mu I_{Txz} \\
I_{A\lambda x} + \mu I_{Txz} & I_{A\lambda\lambda} +2\mu I_{A\lambda z} + mu^2I_{Tzz}
\end{bmatrix} \\
\bold{C_1} &= \begin{bmatrix}
0 & \mu S_T + S_F \cos\lambda + (I_{Txz}/w)\cos\lambda - \mu m_T z_T \\
-(\mu S_T + S_F\cos\lambda) & (I_{A\lambda z}/w)\cos\lambda + \mu\{S_A + (I_{Tzz}/w)\cos\lambda\}
\end{bmatrix} \\
\bold{K_0} &= \begin{bmatrix}
m_T z_T & -S_A \\ -S_A & -S_A\sin\lambda
\end{bmatrix} \\
\bold{K_2} &= \begin{bmatrix}
0 & \{(S_T - m_T z_T)/w\}\cos\lambda \\ 0 & \{(S_A + S_F\sin\lambda)/w\}\cos\lambda
\end{bmatrix}
\end{align*}
また、セルフステアトルクT_sは次のようになります。
\begin{align*}
T_s &= -(M_{\phi\phi}\ddot{\phi} + v C_{1\delta\phi}\dot{\phi} + g K_0{\phi\delta}\phi) \\
&= -(I_{A\lambda x} + \mu I_{Txz})\ddot{\phi} + v(\mu S_T + S_F\cos\lambda)\dot{\phi} + g S_A \phi
\end{align*}
セルフステアトルクについては、次の記事で更に詳しく見ていきたいと思います。
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