この記事のポイント
有名関数の微分を導出しよう
必要な事前知識
- 高校数学の知識
- 数III：極限
- 数III：微分の定義
- その他各関数の知識 (加法定理など)
イントロ
数IIの微分の単元では多項式の微分しかしませんでしたが, 数IIIの微分単元では様々な関数の微分が登場します. そのカバー範囲は高校数学に出てくる関数すべて, と言ってもいいでしょう. ここではそれらの微分を定義から計算していきます.
導出
関数f(x)の導関数f'(x) = df/dxの定義式は
\begin{alignat}{2}
f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}
\end{alignat}
です.
これに従って様々な関数の微分を計算していきましょう (数IIの範囲の微分も含めます).
定数関数
f(x) = cとおくと
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{c - c}{h} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} 0 \\
&= 0
\end{alignat}
となります.
多項式 (= 自然数乗)
f(x) = x^n \; (n \in \mathbb{N}) とおくと
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x + h)^n - x^n}{h}
\end{alignat}
となります.
n \in \mathbb{N}であるので, (x + h)^nは2項定理で展開できます.
\begin{alignat}{2}
(x + h)^n &= \sum_{k = 0}^n {}_n C_k x^{n - k} h^k \\
&= {}_n C_0 x^n h^0 + {}_n C_1 x^{n - 1} h^1 + {}_n C_2 x^{n - 2} h^2+ \cdots +{}_n C_n x^{n - n} h^n \\
&= x^n + {}_n C_1 x^{n - 1} h + {}_n C_2 x^{n - 2} h^2+ \cdots + h^n
\end{alignat}
これを上記の式に代入すると
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{x^n + {}_n C_1 x^{n - 1} h + {}_n C_2 x^{n - 2} h^2+ \cdots + h^n - x^n}{h} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{{}_n C_1 x^{n - 1} h + {}_n C_2 x^{n - 2} h^2+ \cdots + h^n}{h} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\left\{{}_n C_1 x^{n - 1} + {}_n C_2 x^{n - 2} h + \cdots + h^{n-1}\right\}
\end{alignat}
となります.
n > 1より, {}_n C_1 x^{n - 1}以外の項はすべて0に収束するため,
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= {}_n C_1 x^{n - 1} = n x^{n - 1}
\end{alignat}
となります.
負の整数乗
f(x) = x^{m} \; (m \in \mathbb{Z}, m < 0)とおきます.
二項定理は指数が自然数のときのみ使える定理であるので, 自然数乗のときのような計算はできません. ですので代わりに1/g(x)の微分公式 (証明はこちら) を利用します.
mは負の整数であるから, m = -n (n \in \mathbb{N})と置けます. このとき指数法則から
\begin{alignat}{2}
f(x) &= x^{-n} = \frac{1}{x^n}
\end{alignat}
となります.
1/g(x)の微分公式
\begin{alignat}{2}
\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' &= - \frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{alignat}
とこれまでの結果よりf(x)の微分は
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= - \frac{n x^{n-1}}{(x^n)^2} \\
&= - \frac{n x^{n-1}}{x^{2n}} \\
&= - n x^{n-1-2n} \\
&= - n x^{-n-1}
\end{alignat}
となります.
m = -nであったので, 上式は結局
\begin{alignat}{2}
f'(x) = m x^{m-1}
\end{alignat}
となります.
これは多項式の微分公式
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= n x^{n - 1}
\end{alignat}
が, 指数が負の整数の場合にも成り立つことを示しています.
つまり上の公式は, 指数が0でない整数の場合には必ず成り立ちます.
有理数乗
f(x) = x^q \; (q \in \mathbb{Q}) とおきます.
これも二項定理は使えないので少し工夫をします.
qは0でない有理数であるので,
\begin{alignat}{2}
q = \frac{m}{n}
\end{alignat}
と書けます(mは整数, nは自然数).
よって
\begin{alignat}{2}
f(x) = x^{\frac{m}{n}} \Longleftrightarrow \{f(x)\}^n = x^m
\end{alignat}
となります. この両辺をxで微分するには, 左辺に合成関数の微分公式
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dx}g(h(x)) = \frac{d}{dh}g(h) \cdot \frac{dh}{dx}
\end{alignat}
を使うこととなり (証明はこちら)
\begin{alignat}{2}
n \{f(x)\}^{n-1} f'(x) = mx^{m-1}
\end{alignat}
となります.
gがx^nでhがf(x)であったパターンですね.
\begin{alignat}{2}
f(x) = x^{\frac{m}{n}}
\end{alignat}
とあらわせたので代入して計算すると
\begin{alignat}{2}
n \left\{x^{\frac{m}{n}}\right\}^{n-1} f'(x) = mx^{m-1}
\Longleftrightarrow \; &
n x^{\frac{m}{n}(n-1)} f'(x) = mx^{m-1} \\
\Longleftrightarrow \; &
n x^{m - \frac{m}{n}} f'(x) = mx^{m-1} \\
\Longleftrightarrow \; &
f'(x) = \frac{m}{n} x^{\left\{(m - 1) - \left(m - \frac{m}{n}\right)\right\}} \\
\Longleftrightarrow \; &
f'(x) = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n} - 1} \\
\end{alignat}
となります.
q = m/nであったので, 上式は結局
\begin{alignat}{2}
f'(x) = q x^{q - 1}
\end{alignat}
これは多項式の微分公式
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= n x^{n - 1}
\end{alignat}
は, 指数が有理数の場合にも必ず成り立つことを示しています.
正弦関数 (sin)
f(x) = \sin xとおくと
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin (x)\cos(h) + \cos (x) \sin(h) - \sin x}{h} &\quad& (\sin \text{の加法定理})\\
&= \left[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}\right] \cos x + \left[ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{1 - \cos h}{h}\right]\sin x \\
\end{alignat}
となります(今考えているのはhの極限であるので, \sin xや\cos xは外に出せる)．
ここで, 数III極限の最重要公式
\begin{alignat}{2}
\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1
\end{alignat}
より,
\begin{alignat}{2}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1\\
\end{alignat}
であり,
\begin{alignat}{2}
\lim_{h \rightarrow 0}\left[\frac{1 - \cos h}{h} \right]
&= \lim_{h \rightarrow 0}\left[\frac{1 - \cos^2 h}{h(1 + \cos h)} \right]\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\left[\frac{\sin^2 h}{h(1 + \cos h)} \right]\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\left[\frac{\sin^2 h}{h^2}\frac{h}{1 + \cos h} \right] \\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\left[\left(\frac{\sin h}{h}\right)^2\frac{h}{1 + \cos h} \right] \\
&= 1^2 \cdot \frac{0}{1 + \cos 0} \\
&= 0
\end{alignat}
がわかります.
以上のことから, f(x) = \sin xの導関数は任意の実数xに対して収束し,
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \left[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h}\right] \cos x - \left[ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{1 - \cos h}{h}\right]\sin x \\
&= 1 \cdot \cos x - 0 \cdot \sin x\\
&= \cos x
\end{alignat}
であることがわかります.
余弦関数 (cos)
f(x) = \cos xとおくと
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\cos (x)\cos(h) - \sin (x) \sin(h) - \cos x}{h} &\quad& (\cos \text{の加法定理})\\
&= \left[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos h - 1}{h}\right] \cos x
- \left[ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} \right]\sin x
\end{alignat}
と変形できます.
第1項はsinの導関数の計算で登場した
\begin{alignat}{2}
\lim_{h \rightarrow 0}\left[\frac{1 - \cos h}{h} \right] &= 0
\end{alignat}
の-1倍であるので
\begin{alignat}{2}
\lim_{h \rightarrow 0}\left[\frac{\cos h - 1}{h} \right] &= 0
\end{alignat}
がわかります.
第2項の方は極限公式
\begin{alignat}{2}
\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin \theta}{\theta} = 1
\end{alignat}
の形そのままですので
\begin{alignat}{2}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin h}{h} = 1
\end{alignat}
です.
以上のことから, f(x) = \cos xの導関数は任意の実数xに対して収束し,
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= 0 \cdot \cos x - 1 \cdot \sin x \\
&= - \sin x
\end{alignat}
となります.
正接関数 (tan)
f(x) = \tan xとおくと
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\tan(x + h) - \tan x}{h} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\tan x + \tan h}{1 - \tan x \tan h} - \tan x}{h} &\quad& (\tan \text{の加法定理})\\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\tan x + \tan h - \tan x (1 - \tan x \tan h)}{h(1 - \tan x \tan h)} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\tan x + \tan h - \tan x + \tan^2 x \tan h}{h(1 - \tan x \tan h)} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{(1 + \tan^2 x) \tan h}{h(1 - \tan x \tan h)}\\
&= \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\tan h}{h(1 - \tan x \tan h)} \\
&= \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\frac{1}{ \cos h (1 - \tan x \tan h)} \\
&= \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h \cos h (1 - \tan x \tan h)} \\
&= \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}\frac{1}{\cos h (1 - \tan x \tan h)} \\
&= \frac{1}{\cos^2 x} \cdot 1 \cdot \frac{1}{\cos 0 (1 - \tan x \tan 0)} \\
&= \frac{1}{\cos^2 x} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1 \cdot (1 - \tan x \cdot 0)} \\
&= \frac{1}{\cos^2 x}
\end{alignat}
以上のことから, f(x) = \tan xの導関数は任意の実数xに対して収束し,
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \frac{1}{\cos^2 x}
\end{alignat}
となります.
(おまけ：別解)
定義から計算するのではなく, 商の微分公式
\begin{alignat}{2}
\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}
\end{alignat}
と今までに導いた\sin x, \cos xの導関数を利用する方法です.
\begin{alignat}{2}
(\tan x)' &= \left\{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right\}' \\
&= \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \\
&= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (- \sin x)}{\cos^2 x} \\
&= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\
&= \frac{1}{\cos^2 x}
\end{alignat}
指数関数 その1 (底がネイピア数の場合)
f(x) = a^xとおくと,
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^{x + h} - a^x}{h} \\
&= a^x \cdot \lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^{h} - 1}{h}
\end{alignat}
となります.
ここで,
\begin{alignat}{2}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = 1
\end{alignat}
が成り立つ底a = eを探します.
このような底が見つかれば
\begin{alignat}{2}
f'(x) = \frac{d}{dx} (e^x) = e^x
\end{alignat}
が成立し, 微分しても変化しない関数を作り出すことができます.
では, このような底eを探しましょう
\begin{alignat}{2}
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{h} - 1}{h} = 1
\end{alignat}
が成り立つならば, h \rightarrow 0の極限において
\begin{alignat}{2}
\frac{e^{h} - 1}{h} = 1 \Longleftrightarrow \; & e^{h} - 1 = h \\
\Longleftrightarrow \; & e^{h} = 1 + h \\
\Longleftrightarrow \; & e = (1 + h)^{\frac{1}{h}}
\end{alignat}
が成り立ちます. つまり
\begin{alignat}{2}
e = \lim_{h \rightarrow 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}}
\end{alignat}
が先ほどの式を満たす底であり, この底に対して
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dx} (e^x) = e^x
\end{alignat}
が成り立ちます.
この底のことをネイピア数と呼びます. 値は
です. また, このネイピア数を底とした対数を自然対数と呼びます. 自然対数を表すときは, 底eの表記を略した\logもしくは自然対数の英語表記natural logarithm から\lnを使うことが多いです. 私は基本的に\logを用いようと思います.
これで一件落着, とはいきません. 任意の底aに対してはa^xの導関数はどうなるのでしょうか?
その答えは, 対数微分法という計算テクニックを使うとわかります. 名前の通り対数関数の微分を利用する方法ですので, ひとまず対数関数の微分を見てみましょう.
対数関数
対数は底の変換公式
\begin{alignat}{2}
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
\end{alignat}
によって底を変えられるため, 自然対数の微分のみを考えれば他の底の場合の微分もすぐに計算できます.
f(x) = \log xとおくと,
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\log{x + h} - \log x}{h} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left\{\frac{1}{h}\log\left(\frac{x + h}{x}\right)\right\} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left\{\log \left(1 + \frac{h}{x}\right)^\frac{1}{h}\right\} \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left[\log \left\{\left(1 + \frac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}\right\}^\frac{1}{x}\right] \\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left[\frac{1}{x}\log \left(1 + \frac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}\right] \\
&= \frac{1}{x}\lim_{h \rightarrow 0} \left\{\log \left(1 + \frac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}\right\}
\end{alignat}
となります (最後の方の謎の式変形の意味はすぐ分かります).
ここで, 対数関数の連続性から\logと\limの位置を入れ替えることができて,
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \frac{1}{x} \log \left\{\lim_{h \rightarrow 0} \left(1 + \frac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}\right\} \\
\end{alignat}
となる. 変数変換 t = h/xを行うと, h \rightarrow 0 のとき t \rightarrow 0で
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \frac{1}{x} \log \left\{\lim_{t \rightarrow 0} \left(1 + t\right)^\frac{1}{t}\right\} \\
\end{alignat}
となる. \logの中身の極限はネイピア数eの定義
\begin{alignat}{2}
e = \lim_{h \rightarrow 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}}
\end{alignat}
そのままの形ですから,
\begin{alignat}{2}
f'(x) &= \frac{1}{x} \log (e) \\
&= \frac{1}{x}
\end{alignat}
となります.
一般の底の場合は, 底の変換公式
\begin{alignat}{2}
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
\end{alignat}
より
\begin{alignat}{2}
\log_a x = \frac{\log x}{\log a}
\end{alignat}
となるため (aはそのままでbをxに, cをeに置き換えたパターン)
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dx} \log_a x &= \frac{d}{dx} \frac{\log x}{\log a} \\
&= \frac{1}{\log a} \frac{d}{dx} \log x \\
&= \frac{1}{\log a} \frac{1}{x} \\
&= \frac{1}{x\log a} \\
\end{alignat}
となります.
指数関数 その2 (一般の底の場合)
先ほども言ったように, 対数微分法を使います.
対数微分法とは, 関数を表す式 y = f(x) の両辺の自然対数を取ってから微分を計算するテクニックのことです.
つまり,
\begin{alignat}{2}
\log y &= \log f(x)
\end{alignat}
の両辺をxで微分します.
このとき, 合成関数の微分公式により
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dx} \log y &= \frac{d}{dy} \log y \frac{dy}{dx} \\
&= \frac{1}{y} f'(x)
\end{alignat}
となるため,
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{y} f'(x) = \frac{d}{dx} \log f(x)
&\Longleftrightarrow \; f'(x) = y \frac{d}{dx} \log f(x)\\
&\Longleftrightarrow \; f'(x) = f(x) \frac{d}{dx} \log f(x)
\end{alignat}
と計算できます.
このテクニックは, \log f(x)がf(x)そのものよりも微分しやすい形になっているときに有効です.
では, この方法を具体的にf(x) = a^xに適用しましょう.
\begin{alignat}{2}
\log f(x) = \log a^x = x \log a
\end{alignat}
であるので,
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dx} \log f(x) = \log a
\end{alignat}
となります.
これで, f(x) = a^xの導関数が
\begin{alignat}{2}
f'(x) = a^x \log a
\end{alignat}
であることが導けました.
まとめ
\begin{alignat}{2}
&\frac{d}{dx} (c) = 0 \\
&\frac{d}{dx} (x^p) = px^{p-1} &\quad& (p \in \mathbb{Q}) \\
&\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \\
&\frac{d}{dx} (\cos x) = - \sin x \\
&\frac{d}{dx} (\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x} \\
&\frac{d}{dx} (e^x) = e^x & \quad & \\
&\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \log a \\
&\frac{d}{dx} (\log x) = \frac{1}{x} \\
&\frac{d}{dx} (\log_a x) = \frac{1}{x\log a} \\
\end{alignat}
ただし, eはネイピア数で
\begin{alignat}{2}
e = \lim_{h \rightarrow 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} = 2.78128 \cdots
\end{alignat}
です.
本記事の誤植や内容の誤りについてはコメント欄で指摘していただけると幸いです．
おまけ：大学で習う関数の微分 + 置換積分の種明かし
逆正弦関数 (arcsin)
正弦関数\sin(x)の逆関数を\arcsin (x)と表します. しかし, 関数f(x)が逆関数を持つにはxの値とf(x)の値がが1対1対応している必要がありますが, \sinはそうなっていません.
例えば
\begin{alignat}{2}
\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{alignat}
を満たすxは無数にありますよね.
そこで, xの定義域を制限したうえで逆関数を考えます.
具体的には
\begin{alignat}{2}
\sin x &\;& \left(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)
\end{alignat}
の逆関数を考えます.
この関数の値域は-1 \leq \sin x \leq 1であるので, 逆関数\arcsinの定義域と値域は
\begin{alignat}{2}
-1 \leq x \leq 1 &\quad& -\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}
\end{alignat}
となります.
では\arcsinの紹介はこれくらいにして, 微分を計算してみましょう.
y = \arcsin xとおくと, 逆関数の性質から, x = \sin yが成り立ちます.
これの両辺をxで微分すると, 合成関数の微分公式から
\begin{alignat}{2}
1 = \cos y \cdot y' \Longleftrightarrow \; y' = \frac{1}{\cos y}
\end{alignat}
となります. x = \sin yですから, 右辺を\sin yで表すことができればy'がxで表現できます.
三角関数の相互関係から
であり, y = \arcsin xの範囲は\arcsin xの値域, つまり
-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}
であったので, \cos y \geq 0であるから
\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}
となります.
以上より
\begin{alignat}{2}
y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} \Longleftrightarrow \; y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
\end{alignat}
となります. まとめると
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
\end{alignat}
ということです.
ここで種明かしを少し.
数IIIでは定積分
\begin{alignat}{2}
\int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx
\end{alignat}
を計算する際に,
\begin{alignat}{2}
x = \sin \theta
\end{alignat}
と置換するとうまくいく, ということを学ぶと思います.
先ほどの微分の結果の両辺を(不定)積分するとCを積分定数として
\begin{alignat}{2}
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = y + C
\Longleftrightarrow \; \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x + C
\end{alignat}
が成立します. 先ほどの置換をするということは, この式の右辺に x = \sin \thetaを代入することと同じであり, その結果は逆関数の性質から
\begin{alignat}{2}
\arcsin (\sin \theta) + C = \theta + C
\end{alignat}
となり, 形がかなり簡単になることがわかります. 上記の置換はこのような背景から成立しているものだったわけです. なお, a > 0 として
\begin{alignat}{2}
\int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx
\end{alignat}
となっている場合は
\begin{alignat}{2}
x = a \sin \theta
\end{alignat}
と置きましょう. ちなみにこの置換は
\begin{alignat}{2}
\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{a^2 - x^2} dx
\end{alignat}
の形に対しても使えます (半径aの円の一部の面積だととらえたほうが計算は早そうですが).
逆正接関数 (arctan)
逆正弦関数と同じように逆正接関数の定義と微分も見ていきましょう.
y = \tan xもy = \sin xと同様に1つのyの値に対して無数のxの値が対応しているため, 定義域の制限が必要なります. 今回は
\begin{alignat}{2}
\tan x &\;& \left(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)
\end{alignat}
とします.
値域は実数全体(-\infty \leq \tan x \leq \infty)ですね.
従って逆正接関数\arctan xの定義域と値域は
\begin{alignat}{2}
-\infty \leq x \leq \infty &\quad& -\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}
\end{alignat}
となります.
なお,
\begin{alignat}{2}
\left\{
\begin{aligned}
&\arctan (\infty) = \frac{\pi}{2}\\
&\arctan (-\infty) = \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
\right.
\end{alignat}
と定義します.
この表記に違和感がある方は
\begin{alignat}{2}
\left\{
\begin{aligned}
&\lim_{x \rightarrow \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}\\
&\lim_{x \rightarrow - \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}
\end{aligned}
\right.
\end{alignat}
の略記だと思ってください.
さて, 早速微分を計算していきます. やり方はさっきと同じです.
逆関数の定義から
\begin{alignat}{2}
y = \arctan x \Longleftrightarrow \; x = \tan y
\end{alignat}
であるので, 両辺をxで微分して
\begin{alignat}{2}
1 = \frac{1}{\cos^2 y} y'
\end{alignat}
三角関数の公式
\begin{alignat}{2}
1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 y}
\end{alignat}
より
\begin{alignat}{2}
1 = (1 + \tan^2 y) y' \Longleftrightarrow \; & y' = \frac{1}{1 + \tan^2 y} \\
\Longleftrightarrow \; & y' = \frac{1}{1 + x^2}
\end{alignat}
となります.
よって,
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
\end{alignat}
となります.
この結果も\arcsin xのときと同様, 定積分
\begin{alignat}{2}
\int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{a^2 + x^2} dx
\end{alignat}
を計算する際に,
\begin{alignat}{2}
x = a \tan \theta
\end{alignat}
で置換するとうまくいく理由になっています.
ちなみに, \arcsinとは違って
\begin{alignat}{2}
\int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}} dx
\end{alignat}
や
\begin{alignat}{2}
\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{a^2 + x^2} dx
\end{alignat}
のように根号(ルート)がついているとうまくいかないので要注意です.
この場合は双曲線関数と呼ばれるまた違った関数で置換するといいのですがその話は別の機会に.
次のステップ
これで微分に関する公式は一通り説明できたと思います．
次回からは積分に関する公式について説明していきたいと思います．
本記事の誤植や内容の誤りについてはコメント欄で指摘していただけると幸いです．
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