概要
オイラー＝ラグランジュ方程式は汎関数の停留値を与える関数を求める微分方程式である。
ニュートンの運動方程式をより数学的に洗練したものであり、物理学上最も重要な方程式の一つである。そこでオイラー＝ラグランジュ方程式とニュートンの運動方程式を相方向に導出してみました。
はじめに
オイラー＝ラグランジュ方程式は、物理学における最大の指導原理の一つである最小作用の原理から導かれる。
これは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差を与える関数をラグランジアンと呼び、ラグランジアンの時間積分を作用と呼ぶとき、物理現象は作用を最小化（厳密には極小化）するように動くことを主張する原理である。 オイラー＝ラグランジュ方程式は、最小作用の原理を満たす物体の軌跡を変分法で求める事によって導出された方程式である。
オイラー＝ラグランジュ方程式
{\displaystyle\frac{d}{dx}(\frac{\partial F(x,y,y')}{\partial {y'}})-\frac{\partial F(x,y,y')}{\partial {y}}=0}
簡潔にしてつぎのように書く
{\displaystyle\frac{d}{dx}F_{y'}-F_y=0}
準備
ラグランジアン
tを時刻、xを位置、x'を速度とする。
ラグランジアンL(t,x,x')を（運動エネルギーT- 位置エネルギーU）とする。
位置エネルギーUは、位置スカラーポテンシャルとも呼ばれる。
{\displaystyle L(t,x(t),x'(t))=T(x'(t))-U(x(t))}
{\displaystyle T(x'(t))=\frac{1}{2}m {x'(t)}^2}
Lをx'とxで偏微分すると
{\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x'}=\frac{\partial T(x')}{\partial x'}=m {x'}} （１）
{\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{\partial U(x)}{\partial x}} （２）
ニュートンの運動方程式
mを質量、aを加速度、Fを力、xを位置、Uを位置エネルギー（位置スカラーポテンシャル）とするとニュートンの運動方程式はつぎのようになる。
ma=F
ベクトル場FをスカラーポテンシャルUで記述すると
{\displaystyle F(x(t))=-\nabla U(x(t))=-\frac{\partial U(x(t))}{\partial x(t)}}
これをニュートンの運動方程式に代入するとつぎのようになる。
{\displaystyle mx''=-\frac{\partial U(x(t))}{\partial x(t)}}
左辺の２回微分を変形すると
{\displaystyle \frac{d }{d t}mx'=-\frac{\partial U(x(t))}{\partial x(t)}} （３）
ニュートンの運動方程式からオイラー＝ラグランジュ方程式を導く
ニュートンの運動方程式（３）に（１）（２）を代入すると
{\displaystyle \frac{d }{d t}\frac{\partial L}{\partial x'}=\frac{\partial L}{\partial x}}
右辺を移行するとつぎのようにオイラー＝ラグランジュ方程式となる。
{\displaystyle \frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial x'}-\frac{\partial L}{\partial x}=0}
オイラー＝ラグランジュ方程式からニュートンの運動方程式を導く
逆方向の導出を行う。
オイラー＝ラグランジュ方程式
{\displaystyle \frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial x'}-\frac{\partial L}{\partial x}=0}
移行して
{\displaystyle \frac{d }{d t}\frac{\partial L}{\partial x'}=\frac{\partial L}{\partial x}}
（１）（２）を代入すると
{\displaystyle \frac{d }{d t}mx'=-\frac{\partial U(x(t))}{\partial x(t)}}
変形すると
{\displaystyle mx''=-\frac{\partial U(x(t))}{\partial x(t)}}
ma=F
参考資料
ラグランジュの運動方程式
https://hooktail.sub.jp/analytic/equationOfLagrange/
https://ja.wikipedia.org/wiki/オイラー＝ラグランジュ方程式
一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する 2017 石井俊全
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