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ポアソン方程式ってナンだ？

2023/02/20に公開・約5,200字

概要

スカラーポテンシャルはポアソン方程式の解である。
ポアソン方程式は、スカラーポテンシャルを持つベクトル場の発散（湧き出し）の記述である。
例えば質量により重力場に湧き出しが起こる。
湧き出しが時刻により動的に変化する場合はポアソン方程式でななく、波動方程式になる。

はじめに

ポアソン方程式は電磁気学、移動現象論、流体力学といった物理学の諸領域において、系を記述する基礎方程式として現れる。
時間に依存性しない定常状態を記述する方程式はポアソン方程式となる。

本記事は、「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」読書会の際に、「ポアソン方程式」について調べた資料です。 https://akbrobot.connpass.com/event/275328/

ポアソン方程式の定義

スカラー場 $f(x)$ よりスカラー場 $\phi (x)$ を求める、次の方程式をポアソン方程式という。
$\Delta \phi (x) = -f(x)$

スカラー場 $\Delta \phi$ ラプラシアンを展開すると、つぎのようになる。
${\displaystyle \Delta \phi =\frac{\partial ^2 \phi }{\partial {x^2}} +\frac{\partial ^2 \phi }{\partial {y^2}} + \frac{\partial ^2 \phi }{\partial {z^2}} }= \nabla \cdot \nabla \phi = \nabla ^2 \phi$

スカラーポテンシャルを持つベクトル場で書き換えると

（定理1.23）
$\phi(x)$ をスカラーポテンシャル、 $A(x)$ をベクトル場とすると、
$A(x)=- \nabla$ $\phi(x)$ 　　　但し直方体の領域 $R$ 全体で、 $rot$ $A(x)=0$

ポアソン方程式をベクトル場で書き換えると
$\Delta \phi(x) = \nabla \cdot \nabla \phi(x) = - \nabla \cdot A(x)=- f(x)$
ポアソン方程式は、スカラーポテンシャルを持つベクトル場の発散（湧き出し）の記述である。

ポアソン方程式の例

重力ポテンシャル

重力ポテンシャル $\phi (x)$ は次のポアソン方程式を満たす。ここで $ρ(x)$ を与えられた質量分布、 $G$ を万有引力定数とする。
$\Delta \phi (x) =4\pi G\rho (x)$
解釈
スカラー場 $-4\pi G\rho (x)$ が、重力ポテンシャル $\phi (x)$ とそれに付随する重力場を定めることを示している。つまり重力場 $A(x)=- \nabla \phi(x)$

重力場 $A(x)$ の発散 $\nabla \cdot A(x)$ で書き直すと、

$\Delta \phi (x) = \nabla \cdot \nabla \phi(x) = - \nabla \cdot A(x) =4\pi G\rho (x)$

これは、質量分布 $\rho (x)$ に従って、重力場 $A(x)$ に湧き出しがあることを示している。

静電ポテンシャル

静電ポテンシャル $\phi (x)$ は次のポアソン方程式を満たす。ここで $ρ(x)$ を与えられた電荷分布、 $\varepsilon _{0}$ を真空の誘電率とする。
$\Delta \phi (x) =- \frac{ρ(x)}{\varepsilon _{0}}$

解釈
スカラー場 $- \frac{ρ(x)}{\varepsilon _{0}}$ が、静電ポテンシャル $\phi (x)$ とそれに付随する静電場を定めることを示している。つまり静電場 $A(x)=- \nabla \phi(x)$

静電場 $A(x)$ の発散 $\nabla \cdot A(x)$ で書き直すと、

$\Delta \phi (x) = \nabla \cdot \nabla \phi(x) = - \nabla \cdot A(x) =\frac{ρ}{\varepsilon _{0}}$

これは、電荷分布 $ρ(x)$ に従って、静電場 $A(x)$ に湧き出しがあることを示している。

点電荷の場合
原点においた点電荷 $q$ がつくる静電ポテンシャルは、つぎのようになる。
$\phi (r) =\frac{q}{4 \pi \varepsilon _{0}} \frac{1}{r}$

これはクローンの法則より静電場 $E(r)$ は、つぎのようになり
$E(r) =\frac{q}{4 \pi \varepsilon _{0}} \frac{r}{r^3}$

静電ポテンシャルから静電場を計算すると
$- \nabla \phi(r)=-\frac{q}{4 \pi \varepsilon _{0}} \nabla \frac{1}{r} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon _{0}} \frac{r}{r^3} = E(r)$

任意の位置に置いた点電荷がつくる静電ポテンシャル
$r_1$ においた点電荷 $q_1$ がつくる静電ポテンシャルは、
$\phi(r)= \frac{1}{4 \pi \varepsilon _{0}} \frac{q_1}{|r-r_1|}$

連続的な電荷分布の場合
$\phi(r)= \frac{1}{4 \pi } \int_V \frac{ρ(r_1)}{\varepsilon _{0}} \frac{1}{|r-r_1|} dV$

定理

（定理1.39） ポアソン方程式の特殊解
$R^3$ の領域 $V$ と、その外で $0$ になる関数 $f(x)$ に対して、
$\phi (x) = \frac{1}{4\pi}\int_{V}^{} \frac{f(y)}{\left| y-x \right|} dy$
とおくと次の方程式を満たす。
$\Delta \phi (x) = -f(x)$

ここで $x=(x_1,x_2,x_3)、y=(y_1,y_2,y_3)、dy=dy_1dy_2dy_3$
解釈
ポテンシャル解 $\phi$ は、［湧きだし密度］、［電荷密度］、［質量密度］などの空間的な分布の様子が時間的に変化しない場合ポアソン方程式を満足する。

真空中で電荷密度ρ（ｒ）の分布がつくる静電電位場
真空中に分布する質量密度ρ（ｒ）の分布がつくる重力ポテンシャル場
等々がこの式を満足する。

（定理1.40） 波動方程式（特殊解）
領域 $V$ と、その外で $0$ になる位置 $x$ と時刻 $t$ の関数 $f(x,t)$ に対して、
$\phi (x,t) = \frac{1}{4\pi}\int_{V}^{} \frac{f(y,t\pm \frac {{{\left| y-x \right|}}}{c})}{\left| y-x \right|} dy$

とおくと次の方程式を満たす。
$(\Delta - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 }{\partial t^2} )\phi (x,t) = -f(x,t)$

解釈
ポテンシャルを生み出す原因となる密度分布の様子が時間的に変化する（例えば湧きだしの強度が時間的に変化したり、電荷や質量が時間的に場所を移動する）場合には、“ポアソン方程式”を満足せず、“波動方程式”となる。

速度 $c$ を無限大にすると、波動方程式は次のようにポアソン方程式になる。
$\Delta \phi (x,t) = -f(x,t)$