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Nielsen and Chuang Exercise A2.24 S3の群フーリエ変換

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導入

Nielsen and Chuang Exercise A2.24を解いてみた。
Exercise A2.24は、群フーリエ変換をユニタリ行列で表現できれば自然に解ける問。

前提と記号

  • G：有限群（|G| はその元の数）
  • \rho^{(p)}：G の既約表現（p = 1, 2, ..., r）
  • d_p：既約表現 \rho^{(p)} の次元（＝行列 \rho^{(p)}(g) のサイズ）
  • f：G 上の複素数値関数
  • \hat{f}：f のフーリエ変換結果
  • F：フーリエ変換を行う行列
  • \delta_{ik}：クロネッカーのデルタ（i=k なら1, それ以外は0）

A2.9式の確認

群フーリエ変換は次のように定義される。

\hat{f}(\rho^{(p)}) = \sqrt{\frac{d_p}{|G|}} \sum_{x\in G} f(x)\, \rho^{(p)}(x)

各成分で見ると

行列 \hat{f}(\rho^{(p)}) の (i, j) 成分に注目すると次のようになる。

\{\hat{f}(\rho^{(p)})\}_{ij} = \sqrt{\frac{d_p}{|G|}} \sum_{x\in G} f(x)\, \{\rho^{(p)}(x)\}_{ij}

この右辺は、関数ベクトル f(x) と
\sqrt{\tfrac{d_p}{|G|}} \{\rho^{(p)}(x)\}_{ij} の行列積とみなすことができる。

行列形式で書くと

行列 \hat{f}(\rho^{(p)}) の全要素を縦に並べてベクトル化すると次のようになる。

v(\hat{f}(\rho^{(p)}))^T = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{d_p}{|G|}} \{\rho^{(p)}(x_1)\}_{00} & \sqrt{\tfrac{d_p}{|G|}} \{\rho^{(p)}(x_2)\}_{00} & \cdots \\ \sqrt{\tfrac{d_p}{|G|}} \{\rho^{(p)}(x_1)\}_{ij} & \sqrt{\tfrac{d_p}{|G|}} \{\rho^{(p)}(x_2)\}_{ij} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(x_1) \\ f(x_2) \\ \vdots \end{bmatrix}

ここで各既約表現 \rho^{(p)} について同様のベクトルを作り、
それらをすべてまとめると次のような形になる。

v(\hat{f}) = F f

行列 F は次のように定義される。

F = \begin{bmatrix} \sqrt{\tfrac{d_1}{|G|}} \{\rho^{(1)}(x_1)\}_{00} & \sqrt{\tfrac{d_1}{|G|}} \{\rho^{(1)}(x_2)\}_{00} & \cdots \\ \sqrt{\tfrac{d_1}{|G|}} \{\rho^{(1)}(x_1)\}_{ij} & \sqrt{\tfrac{d_1}{|G|}} \{\rho^{(1)}(x_2)\}_{ij} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \sqrt{\tfrac{d_r}{|G|}} \{\rho^{(r)}(x_1)\}_{ij} & \sqrt{\tfrac{d_r}{|G|}} \{\rho^{(r)}(x_2)\}_{ij} & \cdots \end{bmatrix}

ここで \sum_p d_p^2 = |G| より、
F は |G|\times|G| の正方行列である。

直交性とユニタリ性

F の行ベクトル同士の内積を計算すると次のようになる。

\frac{1}{|G|} \sqrt{d_p d_q} \sum_{x\in G} \{\rho^{(p)}(x)\}_{ij}\, \{\rho^{(q)}(x)\}^*_{kl}

ここで既約表現の直交関係（A2.3）を使う。

\sum_{g\in G} (\rho^{(p)}(g)^{-1})_{ij}\, (\rho^{(q)}(g))_{kl} = \frac{|G|}{d_p}\, \delta_{il}\, \delta_{jk}\, \delta_{pq}

これを代入すると、

\text{内積} = \delta_{ik}\, \delta_{jl}\, \delta_{pq}

よって行ベクトルは互いに正規直交し、次が成り立つ。

F F^\dagger = F^\dagger F = I

したがって F はユニタリ行列であり、
f \rightarrow \hat{f} はユニタリ変換である。

S_3 の場合

群 S_3 の既約表現を代入すると、次の具体的な行列が得られる。

F_{S_3} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{6} & -1/\sqrt{6} \\ 1/\sqrt{3} & -1/(2\sqrt{3}) & -1/(2\sqrt{3}) & -1/\sqrt{3} & 1/(2\sqrt{3}) & 1/(2\sqrt{3}) \\ 0 & -1/2 & 1/2 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 1/2 & -1/2 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 1/\sqrt{3} & -1/(2\sqrt{3}) & -1/(2\sqrt{3}) & 1/\sqrt{3} & -1/(2\sqrt{3}) & -1/(2\sqrt{3}) \end{bmatrix}

確認すると次の関係が成り立つ。

F_{S_3} (F_{S_3})^T = I

したがって F_{S_3} もユニタリである。

Discussion