導入
Nielsen and Chuang 「Quantum Computation and Quantum Information」のExercise 5.22について考えてみた。素人による個人的なメモ。
定義
正規化因子を付け足して
\left| \hat{f}(\ell_1, \ell_2) \right\rangle = \frac{1}{r} \sum_{x_1=0}^{r-1} \sum_{x_2=0}^{r-1} e^{-2\pi i (\ell_1 x_1 + \ell_2 x_2)/r} \left| f(x_1, x_2) \right\rangle
と定義し直す。
2変数関数のフーリエ変換より正規化因子は1/\sqrt r\times1/\sqrt r = 1/r 。
導出
\left| \hat{f}(\ell_1, \ell_2) \right\rangle = \frac{1}{r} \sum_{x_1=0}^{r-1} \sum_{x_2=0}^{r-1} e^{-2\pi i (\ell_1 x_1 + \ell_2 x_2)/r} \left| f(x_1, x_2) \right\rangle
ここで以下を用いる：
- j = s x_1 + x_2 \mod r
- f(x_1, x_2) = f(0, j)
- x_2 = j - s x_1 \mod r
変数変換により和の順序を (x_1, j) に並び替えると：
\left| \hat{f}(\ell_1, \ell_2) \right\rangle = \frac{1}{r} \sum_{x_1=0}^{r-1} \sum_{j=0}^{r-1} e^{-2\pi i (\ell_1 x_1 + \ell_2 (j - s x_1 \mod r))/r} \left| f(0, j) \right\rangle
指数関数 e^{i\theta} の周期性より：
e^{-2\pi i (\ell_1 x_1 + \ell_2 (j - s x_1 \mod r))/r} = e^{-2\pi i (\ell_1 x_1 + \ell_2 (j - s x_1))/r}
したがって：
\left| \hat{f}(\ell_1, \ell_2) \right\rangle = \frac{1}{r} \sum_{x_1=0}^{r-1} \sum_{j=0}^{r-1} e^{-2\pi i (\ell_1 x_1 + \ell_2 (j - s x_1))/r} \left| f(0, j) \right\rangle
= \frac{1}{r} \left[ \sum_{x_1=0}^{r-1} e^{-2\pi i x_1(\ell_1 - s \ell_2)/r} \right] \left[ \sum_{j=0}^{r-1} e^{-2\pi i \ell_2 j/r} \left| f(0, j) \right\rangle \right]
等比数列の和の公式により：
\sum_{x_1=0}^{r-1} e^{-2\pi i x_1 (\ell_1 - s \ell_2)/r} = r \cdot \delta_{\ell_1, s \ell_2 \mod r}
ここで、Exercise 5.23 より \left| \hat{f}(\ell_1, \ell_2) \right\rangle がゼロベクトルだと \left| f(x_1, x_2) \right\rangle もゼロベクトルになるため、\ell_1 = s \ell_2 \mod r は常に満たす。
よって：
\left| \hat{f}(\ell_1, \ell_2) \right\rangle = \sum_{j=0}^{r-1} e^{-2\pi i \ell_2 j/r} \left| f(0, j) \right\rangle
※式 (5.72) の\frac{1}{\sqrt{r}} は不要
Discussion