Nielsen and Chuang Box 5.5の群論部分について

導入

Nielsen and Chuang 「Quantum Computation and Quantum Information」のBox 5.5で群論でのシフト不変性のくだり「In the language of group theory~」がさらっと書かれていたので深堀してみた。素人による個人的なメモ。

これまで、集合 $G$ とその部分集合$H$ の元が作る任意の関数

$$\sum_{h}\alpha_h\,\lvert h\rangle\ \longrightarrow\ f(h)=\alpha_h$$

を使って シフト不変性 を議論してきた。
結論は次のとおり。

• 任意の元 $k\in G$ で シフト した関数

  $$f(h+k)=\alpha_h$$

  と元の関数をフーリエ変換した結果は、ピーク位置 $g$ とピーク強度（$\lvert g\rangle$ の複素振幅の絶対値の 2 乗）が一致する。

• 異なる $k'$ でも式 5.67 の $k$ が $k'$ に変わるだけなので $k,k'$ でシフトした関数同士もフーリエ変換でピーク位置・強度は変わらない。

ピーク位置 $(g)$ は

$$\tilde{\alpha}_g = \frac{1}{\sqrt{|G|}}\, \sum_{h}\alpha_h \exp\!\Bigl(\tfrac{2\pi i\,h g}{|G|}\Bigr)$$

に依存するが、

$$\sum_{h}\alpha_h\,\exp\!\Bigl(\tfrac{2\pi i\,h g}{|G|}\Bigr)$$

は $\alpha_h$ や $H$ の性質がわからないので一般的な性質を示すのは難しい。

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目的

制約を課すことでピーク位置 $g$ の性質を 一般化 して言えるようにする。

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制約

1. 群構造

集合 $G$, 部分集合 $H$に群構造の制約を課す。

• $G$：位数 $|G|$ の巡回群 $\mathbb{Z}_{|G|}$。
• $H$：$G$ の巡回部分群。

とする。

2. 関数への制約

任意の関数から「$H$ による剰余類上での $G$ の 定数関数」に限定：

$$f(h+k)=\sum_{h}c_k\,\lvert h+k\rangle,\qquad |c_k|=\frac1{\sqrt{|H|}}$$

• 剰余類 $kH$ の元への入力には 常に同じ定数 $c_k$ を返す。

• 異なる剰余類 $k'H$ には

  $$c_{k'} = c_k\,e^{i\theta}$$

  となる$c_{k'}$を返す（規格化条件より）。

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定数関数をフーリエ変換する

$$\mathcal{F}f(h+k) =\frac{c_k}{\sqrt{|G|}} \sum_{g} e^{\tfrac{2\pi i k g}{|G|}} \Bigl(\sum_{h}e^{\tfrac{2\pi i h g}{|G|}}\Bigr) \lvert g\rangle$$

ピーク強度

$$\Bigl| \frac{c_k}{\sqrt{|G|}} e^{\tfrac{2\pi i k g}{|G|}} \sum_{h}e^{\tfrac{2\pi i h g}{|G|}} \Bigr|^{2} =\frac{1}{|H|\,|G|}\, \Bigl|\sum_{h}e^{\tfrac{2\pi i h g}{|G|}}\Bigr|^{2}$$

剰余類を変えても（$k\to k'$）ピーク位置・強度は不変。

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ピークが立つ $g$ の一般条件

1. $H$ は巡回群 $|H|=m$。生成元 $h$ について

   $$h\cdot m \equiv 0 \pmod{|G|},\qquad h_n = n\frac{|G|}{m}\ (0\le n\le m-1)$$

   ラグランジュの定理より

   $$m ||G|$$

2. 指数和

   $$\sum_{h}e^{\,\tfrac{2\pi i h g}{|G|}} = \sum_{n=0}^{m-1} \exp\!\Bigl(\tfrac{2\pi i n g}{m}\Bigr) = \sum_{n=0}^{m-1} r^{\,n}, \quad r := e^{\,\tfrac{2\pi i g}{m}}$$

3. 等比数列の判定

   • $r=1 \;\Longleftrightarrow\; e^{\tfrac{2\pi i g}{m}}=1$
     → $g$ が $m$ の整数倍 ⇒ ピーク出現
   • $r\neq1$ → 和が 0 ⇒ ピークなし

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結論

ピークが出る $g$ は $m$ の整数倍 に限られる。
制約によりgの性質を一般的に述べることができた。

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余談:アニヒレーター $H^{\perp}$

• $m$ の整数倍集合を

  $$H^{\perp} := \{\,g\in G \mid g \equiv 0 \pmod{m}\,\}$$

  と呼ぶ（アニヒレーター）。

• つまり定数関数を剰余類シフトしてフーリエ変換しても、ピークは 常に $H^{\perp}$ に現れるということ。

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