導入
https://zenn.dev/tanutan93337836/articles/36cd4412ca6e13
上の記事にて有限群のフーリエ変換(A2.9)を導出したので、ついでに逆フーリエ変換の導出もしてみる。素人による個人的なメモ。
逆フーリエ変換 (A2.10) の証明
(A2.9) の証明で用いた設定と基底から、逆フーリエ変換の式を導出する。
任意の関数 f \in C(G) は、正規化された基底
\mathcal{B} = \left\{ \sqrt{\frac{d_p}{|G|}}\, m^{p*}_{ij} \right\}
を用いて次のように展開できる。
f(g) = \sum_{p,i,j} c'_{pij}\, \left( \sqrt{\frac{d_p}{|G|}}\, m^{p*}_{ij}(g) \right)
ここで、展開係数 c'_{pij} はフーリエ変換行列 \hat{f}(\rho^p) の成分 [\hat{f}(\rho^p)]_{ij} である。
この関係を用いて式を展開していく。
f(g) = \sum_{p,i,j} [\hat{f}(\rho^p)]_{ij}\, \left( \sqrt{\frac{d_p}{|G|}}\, m^{p*}_{ij}(g) \right)
1. 係数整理と和の入れ替え
係数を整理し、和の順序を入れ替えると、
f(g) = \frac{1}{\sqrt{|G|}} \sum_{p \in \widehat{G}} \sqrt{d_p}\,
\sum_{i,j=1}^{d_p} [\hat{f}(\rho^p)]_{ij}\, m^{p*}_{ij}(g)
2. ユニタリ表現による書き換え
行列成分 m^{p*}_{ij}(g) をユニタリ表現の性質を用いて書き換える。
m^{p*}_{ij}(g) = [\overline{\rho^p}(g)]_{ij} であり、ユニタリ表現では
\overline{\rho^p(g)} = (\rho^p(g^{-1}))^{\mathsf{T}}
が成り立つ。したがって、
m^{p*}_{ij}(g) = [(\rho^p(g^{-1}))^{\mathsf{T}}]_{ij} = [\rho^p(g^{-1})]_{ji}
3. トレース形式への変換
これを上の式に代入すると、
f(g) = \frac{1}{\sqrt{|G|}}
\sum_{p \in \widehat{G}} \sqrt{d_p}\,
\sum_{i,j=1}^{d_p} [\hat{f}(\rho^p)]_{ij}\, [\rho^p(g^{-1})]_{ji}
内側の和 \sum_{i,j} A_{ij} B_{ji} は、行列の積のトレースの定義そのものである。
\sum_{i,j} A_{ij} B_{ji} = \mathrm{Tr}(AB)
これを適用すると、次式を得る。
f(g) = \frac{1}{\sqrt{|G|}}
\sum_{p \in \widehat{G}} \sqrt{d_p}\,
\mathrm{Tr}\!\left( \hat{f}(\rho^p)\, \rho^p(g^{-1}) \right)
4. 結論
以上により、逆フーリエ変換の式 (A2.10) が得られる。
\boxed{
f(g) = \frac{1}{\sqrt{|G|}}
\sum_{p \in \widehat{G}} \sqrt{d_p}\,
\mathrm{Tr}\!\left( \hat{f}(\rho^p)\, \rho^p(g^{-1}) \right)
}
Discussion