導入
A2.9は「フーリエ変換の定義」と記述されているが実際には「定理」かと思う。
よって証明が存在する。素人による個人的なメモ。
定理 (A2.9) の証明
主張
群 G 上の任意の複素数値関数 f に対し、そのフーリエ変換 \hat{f}(\rho) は次式で与えられる。
\hat{f}(\rho) = \sqrt{\frac{d_\rho}{|G|}} \sum_{g \in G} f(g)\rho(g)
1. 関数空間と基底
群 G 上の複素数値関数 f: G \to \mathbb{C} の全体は、|G| 次元の複素ベクトル空間 C(G) をなす。
C(G) の内積を次のように定義する。
\langle f, h \rangle = \sum_{g \in G} f(g)\overline{h(g)}
既約表現 \rho^p の行列成分関数を
m^p_{ij}(g) = [\rho^p(g)]_{ij}
と定義すると、シューアの大直交性定理から次が成り立つ。
\langle m^q_{kl}, m^p_{ji} \rangle = \frac{|G|}{d_p} \delta_{pq}\delta_{kj}\delta_{li}
また、表現論の次元定理
\sum_{p \in \widehat{G}} d_p^2 = |G|
より、行列成分関数の総数は C(G) の次元に一致する。
したがって、集合 \{m^p_{ij}\}_{p,i,j} は C(G) の完全直交基底をなす。
これを有限群のピーター・ワイルの定理という。
2. 基底の選択
(A2.9) の形式を導出するため、基底として \{m^p_{ij}\} の複素共役 \overline{m^p_{ij}} を採用する。
\overline{m^p_{ij}}(g) = \overline{[\rho^p(g)]_{ij}} = [\overline{\rho^p}(g)]_{ij}
ここで、\overline{\rho^p} も既約表現であり、これを \rho^{p*} と書く。
その行列成分関数を m^{p*}_{ij} とすれば、集合 \{m^{p*}_{ij}\} も C(G) の完全直交基底である。
変換をユニタリにするため、正規化した基底を次のように取る。
\mathcal{B} = \left\{ \sqrt{\frac{d_p}{|G|}}\, m^{p*}_{ij} \ \middle| \ p \in \widehat{G}, 1 \le i,j \le d_p \right\}
この基底系を用いると、A2.9 の係数形が自然に現れる。
3. 関数展開と係数の導出
任意の関数 f \in C(G) はこの基底で次のように展開できる。
f(g) = \sum_{p,i,j} c'_{pij}\, \left(\sqrt{\frac{d_p}{|G|}}\, m^{p*}_{ij}(g)\right)
係数 c'_{pij} を求めるため、両辺を基底ベクトル \sqrt{\frac{d_q}{|G|}} m^{q*}_{kl} と内積を取る。
\left\langle f, \sqrt{\frac{d_q}{|G|}}\, m^{q*}_{kl} \right\rangle = \sum_{p,i,j} c'_{pij} \left\langle \sqrt{\frac{d_p}{|G|}}\, m^{p*}_{ij}, \sqrt{\frac{d_q}{|G|}}\, m^{q*}_{kl} \right\rangle
右辺を計算すると、
\text{RHS} = \sum_{p,i,j} c'_{pij} \sqrt{\frac{d_p}{|G|}}\sqrt{\frac{d_q}{|G|}}\, \langle m^{p*}_{ij}, m^{q*}_{kl} \rangle
直交性 \langle m^{p*}_{ij}, m^{q*}_{kl} \rangle = \frac{|G|}{d_p} \delta_{pq}\delta_{ik}\delta_{jl} を用いると、
p=q, i=k, j=l の項のみが残り、
\text{RHS} = c'_{qkl} \sqrt{\frac{d_q}{|G|}}\sqrt{\frac{d_q}{|G|}} \frac{|G|}{d_q} = c'_{qkl}
したがって係数は次のように与えられる。
c'_{pij} = \left\langle f, \sqrt{\frac{d_p}{|G|}}\, m^{p*}_{ij} \right\rangle = \sqrt{\frac{d_p}{|G|}}\, \langle f, m^{p*}_{ij} \rangle
4. 行列によるパッケージング
c'_{pij} を (i,j) 成分に持つ行列を \hat{f}(\rho^p) と定義する。
[\hat{f}(\rho^p)]_{ij} := c'_{pij}
この定義に従い、係数の式を書き下す。
[\hat{f}(\rho^p)]_{ij} = \sqrt{\frac{d_p}{|G|}}\, \langle f, m^{p*}_{ij} \rangle = \sqrt{\frac{d_p}{|G|}} \sum_{g \in G} f(g)\, \overline{m^{p*}_{ij}(g)}
m^{p*}_{ij} = \overline{m^p_{ij}} なので、
[\hat{f}(\rho^p)]_{ij} = \sqrt{\frac{d_p}{|G|}} \sum_{g \in G} f(g)\, m^p_{ij}(g)
すなわち、
[\hat{f}(\rho^p)]_{ij} = \sqrt{\frac{d_p}{|G|}} \sum_{g \in G} f(g)\, [\rho^p(g)]_{ij}
したがって行列全体の等式として、
\hat{f}(\rho^p) = \sqrt{\frac{d_p}{|G|}} \sum_{g \in G} f(g)\, \rho^p(g)
これはまさに (A2.9) の式である。
Discussion