数学検定準1級に必要で忘れやすいと思われる公式をピックアップしたものです。
直線と点の距離
直線 ax+by+c=0 と点 (x_0,y_0) との距離は、
\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
円の接線
円 x^2+y^2=r^2 上の点 (x_1,y_1) における接線の方程式は、
ベクトルの外分
線分 \mathrm{AB} を m:n に外分する点を\mathrm{Q}とすると、
\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{-n\overrightarrow{\mathrm{OA}} + m\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{m-n}.
三角形の面積
\mathrm{\triangle OAB} の面積 S は、
S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 - (\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}.
楕円の方程式
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ \ (a>0, b>0)
a>b のとき、焦点は (\sqrt{a^2-b^2},0), (-\sqrt{a^2-b^2},0).
b>a のとき、焦点は (0,\sqrt{a^2-b^2}), (0,-\sqrt{a^2-b^2}).
放物線の方程式
焦点は (p,0)、準線は x=-p。
3倍角の公式
\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta, \\
\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta
ゴロ
- サンシャイン引いて司祭が参上す
- よい子のみんなで引っ張る神輿
3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 の解を \alpha, \beta, \gamma とすると、
\alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a}, \ \
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a}, \ \
\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}
ケーリーハミルトンの定理
2次の正方行列
A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
に関して、以下が成り立つ
A^2 - (a+ d)A+(ad-bc)E=O.
逆行列
2次の正方行列
A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
に関して、ad-bc\neq 0 のとき、逆行列を持ち、
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{pmatrix}.
ド・モアブルの定理
z=\cos\theta+i\sin\theta のとき、整数 n に関して、
z^n=\cos n\theta+i\sin n\theta.
自然対数の底
\lim_{t\rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e
二項分布
確率変数 X が二項分布 B(n,p) に従うとき、 q=1-p として、平均 E(X)、 分散 V(X), 標準偏差 \sigma(X)は、
E(X)=np, \ \ V(X)=npq, \ \ \sigma(X)=\sqrt{npq}.
Discussion