140. 数列の極限、漸近挙動（∞の比較、nの多項式増大度・nの冪乗・n乗・n!の比較）

【問題概要】
以下の数列について、nが正の整数の場合、nが無限大に近づく極限を求めよ。
a_n = (3n^3 - 4n^2 + n + 2) / (2n^3 + n^2 + 2)

【解説】
この問題は、数列の極限と漸近挙動について理解していることが必要となる問題です。

まず、nが無限大に近づく場合、分子と分母の最高次の項である3n^3と2n^3の割合が1に近づくため、極限は3/2となります。

ただし、このように簡単に極限が求められる場合でも、極限の存在を示す必要があります。そのためには、分母や分子にnの最高次の項を含む式を加えるなどの方法があります。

また、この問題では、nが無限大に近づくときの数列の挙動を求めることが求められています。具体的には、nの多項式増大度・nの冪乗・n乗・n!の比較が考えられます。

この問題は、AtcoderのABCコンテストにおいて、レーティング難易度(★) に分類されており、ACした回答者に絞った場合のレーティング帯の範囲は約 1000 ~ 1200 点程度です。また、AC率は約 80% 程度となっています。

参考までに、解法については、「ABC77C Coloring Torus」(https://atcoder.jp/contests/abc077/tasks/arc084_a) などが挙げられます。この問題では、トーラス上の各マスに対して、白または黒で塗り分けることができる場合の数を求める問題となっています。解法としては、小学生の時に習う「場合の数」を用いた全探索から始め、その後、数学的な考察によって高速化を図る方法が示されています。