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141. 函数の極限、漸近挙動(発散、収束、極限、種々の極限計算)

2023/03/22に公開

【問題概要】
以下の関数について、xが正の無限大に近づく極限を求めよ。
f(x) = (2x^3 + 3x^2 - 6x - 1) / (3x^3 - 5x^2 + 2)

【解説】
この問題は、極限の定義や極限計算の方法を理解していることが必要となる問題です。

まず、xが正の無限大に近づく場合、分子の最高次の項である2x^3と分母の最高次の項である3x^3の割合が1に近づくため、極限は2/3となります。

ただし、このように簡単に極限が求められる場合でも、極限の存在を示す必要があります。そのためには、分母や分子にxの最高次の項を含む式を加えるなどの方法があります。

この問題は、AtcoderのABCコンテストにおいて、レーティング難易度(★) に分類されており、ACした回答者に絞った場合のレーティング帯の範囲は約 1000 ~ 1300 点程度です。また、AC率は約 80% 程度となっています。

参考までに、解法については、「ABC170D Eel and Composition」(https://atcoder.jp/contests/abc170/tasks/abc170_d) などが挙げられます。この問題では、区間の長さが与えられたときに、その区間を構成する整数の積が最大となるように、与えられた整数からk個の数を選び出す問題となっています。解法としては、与えられた整数を昇順にソートした上で、負の数を含む場合は大きい方からk個、正の数の場合は小さい方からk個を取り出すことが最適であることが示されています。

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