数学で当たり前のようにタブーとされる「0で割る」こと。これがどういう意味なのか、なんでダメなのか。考えてみる。
極限の概念から
極限の式ではこんなものが出てくる。
\lim_{n \to 0} \frac{1}{n}
これはイメージ的にはこんなかんじでみんな扱っているはず。
そう。「0で割る」ことは イメージ的には無限大になること だ。
\begin{align*}
\frac{1}{0.1} &= 10 \\[1em]
\frac{1}{0.01} &= 100 \\[1em]
\frac{1}{0.001} &= 1000 \\[1em]
\frac{1}{0.0001} &= 10000
\end{align*}
この調子で行くなら...
\displaystyle\frac{1}{0}=\infty になりそうだな。
ただ、あくまでこれは 分母を0に近づけると、分数全体は無限大に近づく というだけで、 実際に0で割っているわけではない 。
無限大という概念
そもそも「無限大 \infty 」という数が存在するわけではない。
あくまで無限大 \infty とは「発散する（＝収束せずいつまでも増え続ける）」という 概念 だ。だから普段無限大 \infty を扱うときは直接式に組み込まず、極限 \lim を使って間接的に扱う。
なのでやはり \displaystyle\frac{1}{0}=\infty のイメージでは、 \displaystyle\frac{1}{0} という数の存在は示せない。
「1÷0」は成り立たない
そもそも \displaystyle\frac{1}{0} が成り立つとすると、数学的な矛盾が生まれる。
仮に \displaystyle\frac{1}{0} が成り立つとすると
\frac{1}{0} \cdot 0=1\cdot 0^{-1}\cdot 0^1=1\cdot 0^{-1+1}=1\cdot 0^0=1\cdot1=1
となり、 0 を掛けているのに 0 にならないという事態になる。
「0÷0」は成り立つか
\displaystyle\frac{1}{0} が成り立たないなら、 \displaystyle\frac{0}{0} はどうだろう。
「0÷0=1」と定義したら？
「分母と分子が同じなら 1 」というのはなんとなく納得感がある。
しかしこれはうまくいかない。 \displaystyle\frac{0}{0}=1 とすると、
5=5 \cdot 1=5 \cdot \frac{0}{0}=\frac{5 \cdot 0}{0} =\frac{0}{0}=1
そもそも定義からして破綻している。
「数に 0 をかけたら 0 」のはずだが、 \displaystyle\frac{0}{0} は分子に 0 がある、つまり 0をかけている のだから 0 以外になるのはおかしい。
「0÷0=0」と定義したら？
それなら \displaystyle\frac{0}{0}=0 なら成り立つ？
\displaystyle\frac{0}{0}=0 つまり分母に 0 をいれられるとすると
1=\frac{1}{1}=\frac{1\cdot 0}{1\cdot 0}=\frac{0}{0}=0
となり成り立たない。
指数の方面からもいえる。
\displaystyle\frac{0}{0}=0 が成り立つとすると
0=\frac{0}{0}=0^1 \cdot 0^{-1}=0^{1-1}=0^0=1
「0÷0」は成り立たない
\displaystyle\frac{0}{0}=0 も \displaystyle\frac{0}{0}=1 も成り立たないので \displaystyle\frac{0}{0} は成り立たない。
結論: 0では割れない
\displaystyle\frac{1}{0} も \displaystyle\frac{0}{0} も成り立たないので、 分母に0を持ってくることはできない といえる。
...どうですか？
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