同時対角化の具体例を解く

同時対角化で検索すると同時対角化可能と交換可能が同値である事の証明ばかり出てきます。
一応期間を絞ると知恵袋の解答が出てくるため二番煎じではあるのですが、既に書いてしまった為、投稿しておきます。

ちなみに知恵袋と同じ問題を用います。令和二年東工大編入学問題数学2ですね。

問題

$$A = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 6 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right) ,\, B = \left( \begin{array}{ccc} 9 & 16 & -2 \\ -3 & -5 & 1 \\ -3 & -8 & 4 \end{array} \right)$$

について、以下の問に答えよ。

1. 3次正則行列$P$で、$P^{-1}AP$が対角行列になるものを求めよ。
2. 3次正則行列$R$で$R^{-1}AR$と$R^{-1}BR$とが対角行列になるものを求めよ。

(引用元: 東京工業大学 令和2年度 学士課程編入学一般入試問題 数学 2)

解答

行列$A$を対角化する

1. 固有値を求める

$$\begin{align*} 0&=|A-\lambda I|= \left| \begin{array}{ccc} 5-\lambda & 6 & 0 \\ -1 & -\lambda & 0 \\ 1 & 2 & 2-\lambda \end{array} \right|= (2-\lambda)\left| \begin{array}{cc} 5-\lambda & 6 \\ -1 & -\lambda \\ \end{array} \right| \\ &=(2-\lambda)(\lambda^2-5\lambda +6)= (2-\lambda)^2(3-\lambda)\\ \lambda &= 2(重解),3 \end{align*}$$

2. 固有ベクトルを求める

$\lambda = 2(重解)$に対応する固有ベクトル$\bm{u}$は

$$\begin{align*} (A-2I)\bm{u}=0 \end{align*}$$

すなわち

$$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 6 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{align*}$$

を解き

$$\begin{align} \bm{u} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right),\, \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{align}$$

$\lambda = 3$に対応する固有ベクトル$\bm{u}$は同様に

$$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 6 & 0 & 0\\ -1 & -3 & 0 & 0\\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{align*}$$

を解き

$$\begin{align} \bm{u} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) \end{align}$$

3. 固有関数を作り対角化する

式(1)及び式(2)のベクトルを並べて作られる固有関数$P$及びその逆行列$P^{-1}$は

$$\begin{align*} P = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{align*},\, \begin{align*} P^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right) \end{align*}$$

以上より

$$\begin{align*} P^{-1}AP = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \end{align*}$$

と対角化できる。

$C\equiv P^{-1}BP$を計算する

$$\begin{align*} C&\equiv P^{-1}BP = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 9 & 16 & -2 \\ -3 & -5 & 1 \\ -3 & -8 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \\&= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ -6 & -14 & 4 \\ 3 & 6 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \end{align*}$$

行列$C$を対角化する

1. 固有値を求める

$$\begin{align*} 0&=|C-\mu I|= \left| \begin{array}{ccc} 1-\mu & 1 & 0 \\ -2 & 4-\mu & 0 \\ 0 & 0 & 3-\mu \end{array} \right|= (3-\mu)\left| \begin{array}{cc} 1-\mu & 1 \\ -2 & 4-\mu \\ \end{array} \right| \\ &=(3-\mu)(\mu^2-5\mu +6)= (2-\mu)(3-\mu)^2\\ \mu &= 2,3(重解) \end{align*}$$

2. 固有ベクトルを求める

$\mu = 2$に対応する固有ベクトル$\bm{v}$は

$$\begin{align*} (C-2I)\bm{v}=0 \end{align*}$$

すなわち

$$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 0 & 0\\ -2 & -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{align*}$$

を解き

$$\begin{align} \bm{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{align}$$

$\mu = 3(重解)$に対応する固有ベクトル$\bm{v}$は同様に

$$\begin{align*} \left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{align*}$$

を解き

$$\begin{align} \bm{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right)\,,\, \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \end{align}$$

3. 固有関数を作り対角化する

式(3)及び式(4)のベクトルを並べて作られる固有関数$Q$及びその逆行列$Q^{-1}$は

$$\begin{align*} Q = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right),\,Q^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{align*}$$

以上より

$$\begin{align*} Q^{-1}CQ=Q^{-1}P^{-1}BPQ=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \end{align*}$$

と対角化できる。

$R \equiv PQ$とその逆行列を計算する

$$\begin{align*} R &= PQ = \left( \begin{array}{ccc} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right) \\ R^{-1} &= (PR)^{-1} =R^{-1}P^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 8 & -1 \\ -2 & -5 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right) \end{align*}$$

$R$を用いて$A$及び$B$を対角化する

$$\begin{align*} R^{-1}AR&=Q^{-1}P^{-1}APQ=Q^{-1}\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)Q \\&=\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \end{align*}$$

$$\begin{align*} R^{-1}BR&=Q^{-1}P^{-1}BPQ=Q^{-1}CQ \\&=\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \end{align*}$$

以上のように行列$R$で$A$及び$B$を対角化できる。