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【逆解析】実験データから「未知の物性値」を特定する技術｜CAEエンジニアのための実装ガイド Vol.6

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はじめに

CAEエンジニアの皆さん、**「実験と解析が合わない」**という悪夢に悩まされていませんか？

その原因の多くは、入力パラメータ（熱伝導率、摩擦係数、境界の熱伝達率など）の不確かさにあります。これらを合わせ込むために、何度もパラメータを変えて再計算していませんか？

第6章では、PINNsの最も強力な機能である**「逆解析（Inverse Problem）」**を実装します。
これは、「少数の実験データ（温度など）と物理法則を与え、未知の物性値をAIに自動推定させる」技術です。これこそが、物理シミュレーションとAIを融合させる最大のメリットです。

1. 目的（Physics）

**「1次元の熱伝導現象において、素材の熱拡散率 \alpha が不明である」**という状況を想定します。

  • 既知: 棒の数カ所に設置した温度センサーの時系列データ。
  • 未知: 方程式内のパラメータ \alpha（熱拡散率）。
  • ゴール: 温度データと物理法則の整合性が取れるような \alpha を、AIに逆算させる。

今回は、真の値（正解）を \alpha_{true} = 0.01 とし、AIには初期値 \alpha_{init} = 0.05 （デタラメな値）を与えて、学習によって正解にたどり着けるかを検証します。

2. 数式（Theory）

支配方程式（パラメータ \lambda を含む）

通常、\lambda は定数として与えますが、逆解析では **\lambda も「学習可能な変数（Trainable Parameter）」**として扱います。

\frac{\partial u}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

損失関数（Loss Function）

L_{total} = L_{Data} + L_{PDE}

  1. 観測データの誤差 (L_{Data}):
    センサーの温度データと、AIの予測値が合っているか。

    L_{Data} = \frac{1}{N} \sum (u_{pred} - u_{measured})^2

  2. 物理法則の誤差 (L_{PDE}):
    予測された温度分布と、現在推定中の \lambda を使って方程式が成立しているか。

    L_{PDE} = \frac{1}{N} \sum \left| \frac{\partial u}{\partial t} - \lambda \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right|^2

AIは L_{Data} を減らそうとして温度分布をデータに合わせつつ、その温度分布で L_{PDE} が成立するように \lambda を修正し続けます。

3. 実装（Code）

PyTorchでは、未知の物理定数を nn.Parameter で定義するだけで、ニューラルネットワークの重み（Weights）と同様に自動的に最適化されます。

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ==========================================
# 0. 設定 & 真のデータの作成
# ==========================================
torch.manual_seed(1234)
np.random.seed(1234)
device = torch.device("cuda" if torch.cuda.is_available() else "cpu")

# 真のパラメータ (答え)
alpha_true = 0.01

# 解析解を使って「擬似的な実験データ」を作成する関数
def exact_solution(x, t):
    # u(x,t) = e^(-alpha * pi^2 * t) * sin(pi * x)
    return np.exp(-alpha_true * (np.pi**2) * t) * np.sin(np.pi * x)

# センサーデータの作成 (空間・時間でランダムに観測したとする)
N_obs = 100 # 観測点数 (たった100点！)
x_obs = np.random.rand(N_obs, 1)
t_obs = np.random.rand(N_obs, 1)
u_obs = exact_solution(x_obs, t_obs)

# テンソル化
x_train = torch.tensor(x_obs, dtype=torch.float32, requires_grad=True).to(device)
t_train = torch.tensor(t_obs, dtype=torch.float32, requires_grad=True).to(device)
u_train = torch.tensor(u_obs, dtype=torch.float32).to(device)

# ==========================================
# 1. PINNsモデル (パラメータ推定機能付き)
# ==========================================
class PINN_Inverse(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(PINN_Inverse, self).__init__()
        
        # 通常のネットワーク層
        self.net = nn.Sequential(
            nn.Linear(2, 40), nn.Tanh(),
            nn.Linear(40, 40), nn.Tanh(),
            nn.Linear(40, 40), nn.Tanh(),
            nn.Linear(40, 1)
        )
        
        # ★ここが最重要ポイント★
        # 未知パラメータ alpha を「学習可能な変数」として登録
        # 初期値は 0.05 (正解の0.01とは大きく違う値を入れておく)
        self.alpha = nn.Parameter(torch.tensor([0.05], device=device))

    def forward(self, x, t):
        return self.net(torch.cat([x, t], dim=1))

# ==========================================
# 2. 損失関数の定義
# ==========================================
def physics_loss(model, x, t):
    u = model(x, t)
    
    # 勾配計算
    u_t = torch.autograd.grad(u, t, torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
    u_x = torch.autograd.grad(u, x, torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
    u_xx = torch.autograd.grad(u_x, x, torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
    
    # 残差計算 (ここで model.alpha が使われる！)
    # u_t - alpha * u_xx = 0
    f = u_t - model.alpha * u_xx
    return torch.mean(f**2)

# ==========================================
# 3. 学習ループ (逆解析の実行)
# ==========================================
model = PINN_Inverse().to(device)

# optimizerには model.parameters() が渡されるため、
# ネットワークの重みと一緒に self.alpha も更新される
optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)

epochs = 10000
alpha_history = []
loss_history = []

print(f"True Alpha: {alpha_true}")
print(f"Initial Guess: {model.alpha.item()}")
print("Start Inverse Analysis...")

for epoch in range(epochs):
    optimizer.zero_grad()
    
    # Loss 1: 観測データとの誤差 (Data Loss)
    u_pred = model(x_train, t_train)
    loss_data = torch.mean((u_pred - u_train)**2)
    
    # Loss 2: 物理法則の誤差 (Physics Loss)
    loss_physics = physics_loss(model, x_train, t_train)
    
    loss = loss_data + loss_physics
    
    loss.backward()
    optimizer.step()
    
    # 履歴の保存
    current_alpha = model.alpha.item()
    alpha_history.append(current_alpha)
    loss_history.append(loss.item())
    
    if epoch % 1000 == 0:
        print(f"Epoch {epoch}: Loss {loss.item():.6f}, Estimated Alpha: {current_alpha:.5f}")

print("Training Finished.")
print(f"Final Estimated Alpha: {model.alpha.item():.5f}")
print(f"Error Rate: {abs(model.alpha.item() - alpha_true)/alpha_true * 100:.2f}%")

# ==========================================
# 4. 結果の可視化
# ==========================================
plt.figure(figsize=(10, 5))

# Alphaの収束履歴
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(alpha_history, label='Estimated Alpha', color='red', linewidth=2)
plt.axhline(y=alpha_true, color='black', linestyle='--', label='True Alpha (0.01)')
plt.title("Parameter Identification Process")
plt.xlabel("Epoch")
plt.ylabel("Alpha Value")
plt.legend()
plt.grid(True)

# 温度分布の比較 (t=0.5における断面)
x_test = torch.linspace(0, 1, 100).view(-1, 1).to(device)
t_test = torch.ones_like(x_test) * 0.5
with torch.no_grad():
    u_pred_final = model(x_test, t_test).cpu().numpy()

u_true_final = exact_solution(x_test.cpu().numpy(), 0.5)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_test.cpu(), u_true_final, 'k--', label='Exact Solution')
plt.plot(x_test.cpu(), u_pred_final, 'r-', label='PINN Prediction')
plt.title("Temperature Profile at t=0.5")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("u")
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

4. 検証（Validation）

出力されたグラフ（左側）を見てください。 初期値 0.05 からスタートした赤い線（推定値）が、学習回数を重ねるごとに急降下し、最終的に黒い点線（正解 0.01）にピタリと吸い付いていく様子が確認できます。

私の環境での実行結果は以下の通りです。

True Alpha: 0.01000

Estimated: 0.00998

誤差: わずか 0.2%

これは、「温度分布のデータ」だけを見て、背後にある支配方程式の係数をAIが発見したことを意味します。

5. 考察（Discussion）

なぜこれが「10,000円の価値」なのか？
実務では、材料の物性値（熱伝導率やヤング率）が正確にわからないことが多々あります。 従来の手法（最小二乗法など）でこれを特定するには、何度もシミュレーションを回して比較する「反復計算」が必要で、膨大な時間がかかりました。

PINNsによる逆解析は、**「たった1回の学習」**でパラメータ特定とシミュレーション（代理モデル構築）を同時に完了させます。

応用アイデア
劣化診断: 配管の「摩擦係数」を逆解析し、新品時と比べて値が悪化していれば「錆や詰まりがある」と判断する。

医療応用: 血流データから血管の「硬さ（弾性係数）」を推定し、動脈硬化のリスクを診断する。

この技術は、単なるシミュレーションを超えて、現実世界の「デジタルツイン」を構築するためのコア技術となります。

（この記事は執筆中の書籍『CAEエンジニアのためのPINNs実装バイブル』の第6章です）

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