母比率の検定を軽くまとめる

大学の授業で習ったので、辞書程度にまとめておきます。

母比率の検定とは

母集団の中で、ある属性を持つ割合（母比率p）が特定の値と異なるかどうかを検定する。

例：

• 「全体のうち喫煙者の割合が0.3（30%）である」という仮説を確かめたい→1標本の母比率の検定
• 「Apple社の製品の不良率と、Samsung社の製品の不良率は異なる」という仮説を確かめたい→2標本の母比率の検定

1標本の母比率の検定（One-sample proportion test）

まずは1標本から行きましょう。イメージしにくいですがまずは定義から！

帰無仮説（Null Hypothesis）
$H_0:p=p_0$

対立仮説(Alternative Hypothesis)

• $H_1:p\neq p_0$（両側検定）
• $H_1:p>p_0$ または $H_1:p<p_0$（片側検定）

検定統計量(Test Statistics)

標本比率 $\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{成功数}{標本数}$
※成功数はあくまで例です。

$\displaystyle Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0 (1-p_0)/n}}$

このZ値を標準正規分布に従うものとして、
$|Z|>Z_{a/2}$なら棄却となる

2標本母比率の差の検定(Two-sample proportion test)

2つの母比率$p_1, p_2$が等しいかどうかを検定する。

帰無仮説
$H_0:p_1=p_2$
対立仮説
$H_0:p_1\neq p_2$（両側検定の場合）

検定統計量
$\displaystyle Z=\dfrac{\hat{p_1}-\hat{p_2}}{\sqrt{\hat{p} (1-\hat{p})(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_1})}}$

ただし、
$\displaystyle \hat{p}=\dfrac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}$