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ABCD Forecastの行列に関して

2023/08/21に公開

https://twitter.com/i_love_profit/status/1693154412553019415?s=20

このツイートに関して、論文[1]の趣旨的には右上に-1があっても良さそうだったが、その場合は正則にならない気がしたので確認

追記: 賢い人がいました
https://twitter.com/crypto_bigbang/status/1693562062298136895?s=20

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & & & 0 \\ -1 & 1 & 0 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -1 & 1 & 0 \\ 0 & & & -1 & 1 \end{pmatrix}

を余因子展開すると

\det A=\begin{vmatrix} 1 & & & \\ -1 & 1 && \\ & \ddots & \ddots & \\ & & -1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1

一方で右上に-1があると

\begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 0 & & & -1 \\ -1 & 1 & 0 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -1 & 1 & 0 \\ 0 & & & -1 & 1 \end{vmatrix} = \det A + (-1)^{N+1}(-1)\begin{vmatrix} -1 & 1 & & \\ & -1 & 1& \\ & & \ddots & \\ & & -1 & 1 \\ & & & -1 \end{vmatrix} \end{align}

二行目の行列式は(N-1)\times(N-1)の行列に対するものであることに注意して余因子展開を繰り返していくと

\begin{align} &\det A + (-1)^{N+1}(-1)\begin{vmatrix} -1 & 1 & & \\ & -1 & 1& \\ & & \ddots & \\ & & -1 & 1 \\ & & & -1 \end{vmatrix}\nonumber\\ &\quad= \det A + (-1)^{N+1}(-1)(-1)^{2(N+2)}(-1)\begin{vmatrix} -1 & 1 & & \\ & -1 & 1& \\ & & \ddots & \\ & & -1 & 1 \\ & & & -1 \end{vmatrix} \nonumber\\ &\quad= \det A + (-1)^{N+1}(-1)^{N-2}\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \nonumber\\ &\quad=\det A+(-1)^{2N-1} =0 \end{align}

となり、余因子が0なので特異になる

脚注
  1. https://www.jstage.jst.go.jp/article/pjsai/JSAI2023/0/JSAI2023_3Xin409/_article/-char/ja/ ↩︎

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