π−λ定理の証明と応用

この記事ではディンキンの$\pi-\lambda$定理の証明とその応用（特に確率論）について述べる．

Notation

$\Omega$：空でない集合．

$2^{\Omega}$：$\Omega$ の冪集合．

$\sigma[\mathscr{A}]$：集合族 $\mathscr{A} \subset 2^{\Omega}$ が生成する $\sigma$–加法族（$\sigma$–algebra）．

$\delta[\mathscr{A}]$：集合族 $\mathscr{A}$ を含む 最小の $\lambda$–系（Dynkin system）．

$\pi$–系：空でない集合族 $\mathscr{P}\subset 2^{\Omega}$ で，任意の $A,B \in \mathscr{P}$ について $A \cap B \in \mathscr{P}$ が成り立つもの．

$\lambda$–系（Dynkin 系）：空でない集合族 $\mathscr{L}\subset 2^{\Omega}$ で次を満たすもの：

1. $\Omega \in \mathscr{L}$

2. $A,B \in \mathscr{L}, A \subset B \Rightarrow B \setminus A \in \mathscr{L}$

3. $A_1, A_2, \dots \in \mathscr{A},\ A_n \nearrow \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{A}$

$\pi$-$\lambda$定理

$\Omega$ の集合族 $\mathscr{P}, \mathscr{L}$ が与えられ，$\mathscr{P}$ が $\pi$ 系，$\mathscr{L}$ が $\lambda$ 系であるとする．このとき，$\mathscr{P} \subset \mathscr{L}$ を満たせば

$$\sigma[\mathscr{P}] \subset \mathscr{L}$$

が成り立つ．

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$\pi$-$\lambda$定理の証明に以下の二つの補題を用いる．（補題の証明は別のドキュメントで順次進めていく．）

補題A

集合族 $\mathscr{A}$ が $\sigma$-加法族 ⇔ $\mathscr{A}$ は $\pi$ 系かつ $\lambda$ 系

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補題B

$\mathscr{L}$ を $\lambda$-系として，$A \in \mathscr{L}$ とすれば

$$\mathscr{G} = \{ B \mid A \cap B \in \mathscr{L} \}$$

は $\lambda$-系である．

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証明

$\mathscr{L}_{\min} = \delta[\mathscr{P}]$ とおく．$\mathscr{L}_{\min}$ が $\pi$- 系であることが示されれば，補題Aより $\mathscr{L}_{\min}$ は $\sigma$-加法族となる．このとき，$\mathscr{L}_{\min}$ は $\mathscr{P}$ を含む最小の $\lambda$-系であり，かつ $\sigma$-加法族となるので，

$$\sigma[\mathscr{P}] \subset \mathscr{L}_{\min}$$

が成り立つ．さらに，$\mathscr{L}_{\min} \subset \mathscr{L}$ より，

$$\sigma[\mathscr{P}] \subset \mathscr{L}$$

が成り立つ．したがって，$\mathscr{L}_{\min}$ が $\pi$-系であることを示せば良い．

以上の議論から，定理の証明のための最終的な目標が

$$\forall A, B \in \mathscr{L}_{\min}, \quad A \cap B \in \mathscr{L}_{\min}$$

になった．しかし，いきなりこの命題を示すのは難しいため，まず

$$\forall A, B \in \mathscr{P}, \quad A \cap B \in \mathscr{L}_{\min}$$

を示した後

$$\forall A \in \mathscr{L}_{\min}, B \in \mathscr{P}, \quad A \cap B \in \mathscr{L}_{\min}$$

を示すことで証明していく．

$\mathscr{P}$は$\pi$-系なので，当然$A, B \in \mathscr{P}$ のとき $A \cap B \in \mathscr{P}$が成り立つ．
また仮定より $\mathscr{P} \subset \mathscr{L}$ なので，

$$\forall A, B \in \mathscr{P}, \quad A \cap B \in \mathscr{L}_{\min} \tag{1}$$

ここで，$A \subset \Omega$ として，任意に固定した $B \in \mathscr{P}$ に対して

$$\mathscr{G}_B = \{ A \mid A \cap B \in \mathscr{L}_{\min} \}$$

という集合族$\mathscr{G}_B$を定義する．$\mathscr{G}_B$の定義より

$$\forall A, B \in \mathscr{P}, \quad A \cap B \in \mathscr{L}_{\min} \Rightarrow A \in \mathscr{G}_B$$

が成り立つので，(1)式より

$$\forall A \in \mathscr{P}, A \subset \mathscr{G}_B$$

よって，$\mathscr{P} \subset \mathscr{G}_B$

さらに補題Bより，$\mathscr{G}_B$ は $\lambda$-系である．

したがって，$\mathscr{G}_B$ は $\mathscr{P}$ を含む $\lambda$-系である．すなわち，

$$\mathscr{L}_{\min} \subset \mathscr{G}_B$$

ゆえに，$\mathscr{L}_{\min}$ の任意の元 $A$ に対し，$A \cap B \in \mathscr{L}_{\min}$ である：

$$\forall A \in \mathscr{L}_{\min}, \forall B \in \mathscr{P}, \quad A \cap B \in \mathscr{L}_{\min} \tag{2}$$

以降，同様の議論をする．任意に固定した$A \in \mathscr{L}_{\min}$ に対して

$$\mathscr{G}_A = \{ B \mid A \cap B \in \mathscr{L}_{\min} \}$$

と定義すると，$\mathscr{G}_A$ も $\lambda$-系であり，$\mathscr{L}_{\min} \subset \mathscr{G}_A$ なので，

$$\forall A, B \in \mathscr{L}_{\min}, \quad A \cap B \in \mathscr{L}_{\min}$$

以上より，$\mathscr{L}_{\min}$ は $\pi$ 系であることが示された．∎

応用

WIP

参考文献

舟木直久：確率論，朝倉書店，2004．
吉田伸生：[新装版]ルベーグ積分入門 使うための理論と演習，日本評論社，2021