【データサイエンス】シグモイド（ロジスティック曲線）ってなに？

シグモイドとは？

シグモイドとは、ロジスティック曲線の事である。AI分野では「ロジスティック曲線」よりも「シグモイド」と呼ばれることが多い。

ロジスティック曲線とは

ロジスティック曲線とは、「成長+限界」がある現象（人口、細胞増殖など）の基本的なモデルの一つである。

ロジスティック曲線は、以下の微分方程式によって記述される現象のモデルであり、その解として得られる曲線である（アニメーション参照）。
※なお、ここでは最大値を1とする。

$$y'(x) = y(x)\,(1 - y(x))$$

ロジスティック曲線の数式

ロジスティック曲線は以下の数式

$$y(x)=\frac{\exp(x)}{\exp(x)+1}$$

で表される。

ここで、

$$\exp(-x)=\frac{1}{exp(x)}$$

である。

証明：

$$\begin{aligned} \exp(x)\exp(-x) &= \exp(x+(-x)) \\ &= \exp(0) \\ &= 1 \end{aligned}$$

両辺 exp(x) で割ると，

$$\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}$$

そのため、先ほど登場した、ロジスティック曲線を表す数式

$$y(x)=\frac{\exp(x)}{\exp(x)+1}$$

は次のように変形することができる。

$$\begin{aligned} y(x)=\frac{\frac{\exp(x)}{\exp(x)}}{\frac{\exp(x)+1}{\exp(x)}} &=\frac{1}{1+\frac{1}{\exp(x)}}\\ &=\frac{1}{1+\exp(-x)} \end{aligned}$$

まとめ

シグモイド（ロジスティック曲線）は以下の数式で表されることが多い。

$$y(x)=\frac{1}{1+exp(-x)}$$

$y(x)=\frac{\exp(x)}{\exp(x)+1}$でも同じであるが、AI分野の参考書などでは$y(x)=\frac{1}{1+\exp(-x)}$がよく使われている。